Question

Cho a + b = c = 3  ;  a² + b² + c² = 5 . Chứng minh rằng M = ( a² + 2 )( b² + 2 )( c² + 2 ) là 1 số chính phương

Answer 1

Do \(a^2+b^2+c^2=5\Rightarrow a^2,b^2,c^2\le5\Rightarrow\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le\sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\le2\)

\(\Rightarrow\left|a\right|;\left|b\right|;\left|c\right|\in\left\{0;1;2\right\}\)

Mà \(a+b+c=3\) và \(a^2+b^2+c^2=5=0^2+1^2+2^2\)

\(\text{nên }\left(a,b,c\right)\in\left\{\left(0;1;2\right);\left(0;2;1\right);\left(1;0;2\right);\left(1;2;0\right);\left(2;1;0\right);\left(2;0;1\right)\right\}\)

Với mỗi cặp như vậy, \(\left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)=\left(0+2\right)\left(1^2+2\right)\left(2^2+2\right)=36=6^2\)

là số chính phương.