Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{a^4}{ab}+\frac{b^4}{bc}+\frac{c^4}{ac}\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\)
Theo hệ quả của BĐT AM-GM ta luôn có: \(a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ac\)
\(\Rightarrow P\geq \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{ab+bc+ac}\geq a^2+b^2+c^2\) (1)
Sử dụng những bđt rất quen thuộc sau:
\((a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)\Rightarrow a+b+c\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}\)
\(ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)
Cộng vào suy ra \(6\leq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+a^2+b^2+c^2\)
Đặt \(\sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}=t\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\)
Ta có \(6\leq t+\frac{t^2}{3}\Leftrightarrow t^2+3t-18\geq 0\)
\(\Leftrightarrow (t+6)(t-3)\geq 0\)
Vì \(t>0\Rightarrow t+6>0\Rightarrow t-3\geq 0\Rightarrow t\geq 3\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2=\frac{t^2}{3}\geq 3(2)\)
Từ \((1),(2)\Rightarrow P\geq 3\Leftrightarrow P_{\min}=3\)
Dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\)
Ta có bdt sau : x^3/y + y^3/z + z^3/x >= (x+y+z)^3/3(x+y+z) (x,y,z>0)
CHứng minh = Holder
=> P >= (a+b+c)^3/3(a+b+c) = (a+b+c)^2/3
Ta có : 6=a+b+c+ab+bc+ca <= a+b+c + (a+b+c)^2/3 ,đặt t=a+b+c (t>0) quy đồng <=> t^2+3t >= 18 ,giải bpt => t>=3
Vậy P>=3^2/3=3