Question

Cho a , b , c > 0 , CMR : 

\(a+b+c\)> \(\sqrt{a.b}\)+\(\sqrt{b.c}\)+\(\sqrt{c.a}\)

Answer 1

cách 1:

áp dung bất đẳng thức Cô-si ta có:

\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}\ge2\sqrt{\frac{a}{2}.\frac{b}{2}}=\sqrt{a.b}\)(1)

\(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\ge2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{c}{2}}=\sqrt{b.c}\)(2)

\(\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge2\sqrt{\frac{c}{2}.\frac{a}{2}}=\sqrt{c.a}\)(3)

cộng 2 vế (1);(2) và (3) ta được:

\(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}+\frac{c}{2}+\frac{a}{2}\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c\ge\sqrt{a.b}+\sqrt{b.c}+\sqrt{c.a}\)(điều phải chứng minh)