Theo BĐT Cô si,ta có:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\) (1)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\) (2)
Nhân theo vế (1) và (2),ta có:\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Chia cả hai vế cho abc,ta được: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\)
Hoặc:
Áp dụng BĐT: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\).Ta có:
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{4}{a+b}+\frac{1}{c}=\frac{2^2}{a+b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(2+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}^{\left(đpcm\right)}\) (BĐT Svac)
Chả biết làm bài này nhiu lần :vvv
3 cách nhá
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{\frac{a+b+c}{3}}=\frac{9}{a+b+c}\) (Cosi 2 lần)
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\) (Cosi 2 tích)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}=\frac{9}{a+b+c}\) ( Cauchy-Schwaz dạng Engel )
Chúc bạn học tốt ~
bài này là dạng cơ bản bạn
C1:\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
\(< =>\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(a+b+c\right)\ge9\)
\(LHS\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c}\left(a+b+c\right)\)(bunhia dạng phân thức)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)3^2}{a+b+c}=3^2=9\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
C2: \(bđt< =>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
Sử dụng BĐT AM-GM cho 3 số thực dương ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)(*)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)(*)
Nhân theo vế bđt (*) và (**) ta được
\(LHS\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}=9\sqrt[3]{\frac{abc}{abc}}=9\left(đpcm\right)\)
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)