Question

Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}\ge ab+bc+ca\)

Answer 1

Sử dụng bđt Côsi:

\(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\)

Tương tự và suy ra:

\(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

Thu gọn lại, ta có đpcm.

Answer 2

a^3/b +a^3/b +b^2 >=3.a^2 
=>2a^3/b +b^2>=3a^2 
Cm tương tự : 
2b^3/c +c^2 >=3.b^2 
2c^3/a +a^2 >=3.c^2 
Cộng vế ta đc  : 
2(a^3/b+b^3/c+c^3/a) +(a^2+b^2+c^2) >=3.(a^2+b^2+c^2) 
=>a^3/b+b^3/c+c^3/a >=a^2+b^2+c^2 
Mặt khác : 
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca 
nên
a^3/b+b^3/c+c^3/a >=ab+bc+ca Dấu
 = xảy ra khi a=b=c

Answer 3

Bảo Nam, bạn nên CM rõ đoạn đầu

Answer 4

a=b=c

Answer 5

\(Sử dụng bđt Côsi: \(\frac{a^3}{b}+ab\ge2\sqrt{\frac{a^3}{b}.ab}=2a^2\) Tương tự và suy ra: \(\frac{a^3}{b}+\frac{b^3}{c}+\frac{c^3}{a}+ab+bc+ca\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) Thu gọn lại, ta có đpcm.\)