Câu hỏi của Hoài An

Question

Cho a ≥ 9, b ≥ 4, c ≥ 1 và abc = 36. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P = $ab\sqrt{c-1}+bc\sqrt{a-9}+ca\sqrt{b-4}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

Áp dụng BĐT $ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$

$P=\frac{\sqrt{c-1}}{c}+\frac{\sqrt{a-9}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}=\frac{1.\sqrt{c-1}}{c}+\frac{3.\sqrt{a-9}}{3a}+\frac{2.\sqrt{b-4}}{2b}$

$\Rightarrow P\le\frac{1+c-1}{2c}+\frac{9+a-9}{6a}+\frac{4+b-4}{4b}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$

$\Rightarrow P_{max}=\frac{11}{12}$ khi $\left\{{}\begin{matrix}a=18\b=8\c=2\end{matrix}\right.$Câu trả lời: Áp dụng BĐT $ab\le\frac{a^2+b^2}{2}$

$P=\frac{\sqrt{c-1}}{c}+\frac{\sqrt{a-9}}{a}+\frac{\sqrt{b-4}}{b}=\frac{1.\sqrt{c-1}}{c}+\frac{3.\sqrt{a-9}}{3a}+\frac{2.\sqrt{b-4}}{2b}$

$\Rightarrow P\le\frac{1+c-1}{2c}+\frac{9+a-9}{6a}+\frac{4+b-4}{4b}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{4}=\frac{11}{12}$

$\Rightarrow P_{max}=\frac{11}{12}$ khi $\left\{{}\begin{matrix}a=18\b=8\c=2\end{matrix}\right.$

Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH