\(a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JB}+c\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{AB}+c\overrightarrow{JA}+c\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\overrightarrow{JA}=-b\overrightarrow{AB}-c\overrightarrow{AC}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\overrightarrow{JA}=\frac{-b\overrightarrow{AB}-c\overrightarrow{AC}}{a+b+c}\)
vì A, B, C cố định và a+b+c cho trước không đổi => J là điểm xác định duy nhất
Ta xét có trường hợp:
+) a = b = c > 0 :
\(a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JB}+c\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)
<=> \(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}+\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\)
=> J trùng với trọng tâm tam giác ABC
+) a>0; b=c:
\(a\overrightarrow{JA}+b\overrightarrow{JB}+c\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\Leftrightarrow\overrightarrow{JA}=\overrightarrow{0}\)
=> J trùng A (xét 2 th khác thì J cũng có thể trùng B hoặc C)
+) a=b >0, c=0, đẳng thức đề cho trở thành:
\(\overrightarrow{JA}+\overrightarrow{JB}=\overrightarrow{0}\)
=> J là trung điểm đoạn AB (tương tự xét a=c>0, b=0 hoặc b=c>0 , a = 0 ta cũng được J là trung điểm đoạn AC hoặc BC)
Vậy J là điểm xác định duy nhất phụ thuộc vào các chọn bộ (a; b; c)