Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
\(\left(x+y\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^2\le2\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+y\right)^4\le4\left(x^2+y^2\right)^2\) (2)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y\)
Áp dụng Bất đẳng thức Bunyakovsky ta có:
\(\left(x^2+y^2\right)^2\le\left(1^2+1^2\right)\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\)\(4\left(x^2+y^2\right)^2\le8\left(x^4+y^4\right)\) (1)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x^2=y^2\)\(\Leftrightarrow\)\(x=\pm y\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\left(x+y\right)^4\le8\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(16\le8\left(x^4+y^4\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(x^4+y^4\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=1\)
