Question

Cho 2 số thực x,y thoả mãn x² + y² ≤ x + y . CHứng minh rằng x + y ≤ 2

Answer 1

Do \(x^2+y^2\ge0\) \(\forall x;y\Rightarrow x+y\ge0\)

Lại có \(x^2+y^2\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\Rightarrow x+y\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{2}\)

\(\Rightarrow2\left(x+y\right)-\left(x+y\right)^2\ge0\Rightarrow\left(x+y\right)\left(2-\left(x+y\right)\right)\ge0\)

- Nếu \(x+y=0\Rightarrow x+y< 2\) BĐT đúng

- Nếu \(x+y>0\Rightarrow2-\left(x+y\right)\ge0\Rightarrow x+y\le2\)

Vậy \(x+y\le2\)