Question

Cho 2 số dương a,b thỏa mãn a¹⁰⁰+b¹⁰⁰=a¹⁰¹+b¹⁰¹=a¹⁰²+b¹⁰². Tính a²⁰¹⁰+b²⁰¹⁰

Answer 1

\(a^{100}+b^{100}=a^{101}+b^{101}\Leftrightarrow a^{100}-a^{101}=b^{101}-b^{100}\Rightarrow a^{100}\left(1-a\right)=b^{100}\left(b-1\right)\)

\(\Rightarrow-a^{100}\left(a-1\right)=b^{100}\left(b-1\right)\)

1./ Nếu b = 1 => a = 1 (do a;b>0) nên tổng S = a²⁰¹⁰ + b²⁰¹⁰ = 2

2./ Nếu b khác 1 \(\Rightarrow\frac{a-1}{b-1}=\frac{b^{100}}{a^{100}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{100}\)(1)

Tương tự từ: \(a^{102}+b^{102}=a^{101}+b^{101}\Leftrightarrow a^{102}-a^{101}=b^{101}-b^{102}\Rightarrow a^{101}\left(a-1\right)=b^{101}\left(1-b\right)\)

\(\Rightarrow\frac{a-1}{b-1}=\frac{b^{101}}{a^{101}}=\left(\frac{b}{a}\right)^{101}\)(2)

Từ (1) và (2) \(\left(\frac{b}{a}\right)^{100}=\left(\frac{b}{a}\right)^{101}\Rightarrow\frac{b}{a}=1\Rightarrow a=b\)

Từ: a¹⁰⁰ + b¹⁰⁰ = a¹⁰¹ + b¹⁰¹ => 2a¹⁰⁰ = 2 a¹⁰¹ => a¹⁰⁰ = a¹⁰¹ => a = 1; b = 1

Và tổng S = a²⁰¹⁰ + b²⁰¹⁰ = 2.

Answer 2

ở chổ (1) sai dấu của a mũ 100 rồi bạn ơi