p,q là các số nguyên tố khác nhau => (p;q)=1
Áp dụng định lí Fermat nhỏ có: \(p^{q-1}\equiv1\)(mod q). Mà \(q^{p-1}\equiv0\)(mod q)
=>\(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1-0\equiv1\) (mod q) =>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\equiv1-1\equiv0\) (mod q)
=>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho q (1)
Lại áp dụng định lí Fermat nhỏ có: \(q^{p-1}\equiv1\)(mod q). Mà \(q^{p-1}\equiv0\) (mod q)
=>\(p^{q-1}+q^{p-1}\equiv1-0\equiv1\)(mod q) =>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\equiv1-1\equiv0\) (mod q)
=>\(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho q (2)
Từ (1),(2) và (p;q)=1 => \(p^{q-1}+q^{p-1}-1\) chia hết cho pq (đpcm)
Bài này mà sử dụng đồng dư thì đơn giản kinh khủng :)
Đặt \(A=p^{q-1}+q^{p-1}-1\)
Vì p,q là các số nguyên tố khác nhau nên \(\left(p;q\right)=1\)
Áp dụng định lý Fecma nhỏ có \(p^{q-1}\text{≡}1\left(modq\right)\)
Mà \(q^{p-1}\text{≡}0\left(modq\right)\)
\(\Rightarrow p^{q-1}+q^{p-1}-1\text{≡}1+0-1\text{≡}0\left(modq\right)\)
\(\Rightarrow A\text{⋮}q\)
Tương tự, vẫn áp dụng định lý Fecma nhỏ có \(q^{p-1}\text{≡}1\left(modp\right)\)
Mà \(p^{q-1}\text{≡}0\left(modp\right)\)
\(\Rightarrow p^{q-1}+q^{p-1}-1\text{≡}0+1-1\text{≡}0\left(modp\right)\)
\(\Rightarrow A\text{⋮}p\)
Có \(A\text{⋮}p\)và \(A\text{⋮}q\); mà \(\left(p;q\right)=1\) nên \(A\text{⋮}p.q\)
Vậy ...
Bạn có thể hiểu thêm về định lý Fecma : nếu a , b nguyên tố cùng nhau thì \(a^{b-1}\text{≡}1\left(modb\right)\)cũng như \(b^{a-1}\text{≡}1\left(moda\right)\)
hderhaeasheheipgyhseou;g∂aropuiyghwseio;ufyhgaø;iswegyhoiugyh;seroiyhiohiotrghiorhgoihdrig;ohdrs;giohdiriogheiorghdgedrgidioghsdio;ghsioeghfzso;ighsOI:ghsaGP:ha;ioghs;oghso;ghsighase;hgiodhga;iwrsoghd;oi.shg;p/gwhs;/eurws9gpohpa;qhuegp;aehgw;epshuadha;igd;ghwsghspfgosehporhsgihedaigo;;aspugeoiprgyhipw;gyhap;weg;hriwepoaghw;ipgyhsiao;rghsghasighasioghaghsieghskjfhgsifyhigpe98yw98egywu9giywa9'g9ywauris9isruhgjd'uer9dijkmsgu9wiejpgdkmsu9ireu'gw9agp-uwa9'eug0guaw9pogauwp9gauwgpo9awugepu'g9pwogupw9guwpaguwapeoguweapogwu;gu;;;;ilsghjsdaighwsarihgsadflkghdsl;khgwaeoi9gyh9ieyhp9ghaw;o9ghao9hgo9yehw;goiwhagaiowehgaw4oeitgh