Câu 1:
\(a-\sqrt{a}+1=a-2.\sqrt{a}.\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\frac{3}{4}\)
\(=(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\)
Ta thấy \((\sqrt{a}-\frac{1}{2})^2\geq 0, \forall a\) không âm
\(\Rightarrow a-\sqrt{a}+1=(\sqrt{a}-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\geq \frac{3}{4}\)
Vậy GTNN của biểu thức là $\frac{3}{4}$. Dấu "=" xảy ra khi \((\sqrt{a}-\frac{1}{2})^2=0\Leftrightarrow a=\frac{1}{4}\)
Câu 2:
\(\sqrt{1+2a-a^2}=\sqrt{2-(a^2-2a+1)}=\sqrt{2-(a-1)^2}\)
Ta thấy \((a-1)^2\geq 0, \forall a\) thuộc tập xác định
\(\Rightarrow 2-(a-1)^2\leq 2\)
\(\Rightarrow \sqrt{1+2a-a^2}=\sqrt{2-(a-1)^2}\leq \sqrt{2}\)
Vậy GTLN của biểu thức là $\sqrt{2}$ khi \((a-1)^2=0\Leftrightarrow a=1\)
Câu 3:
ĐK: $x\geq 1$
\(x-2\sqrt{x-1}=(x-1)-2\sqrt{x-1}+1\)
\(=(\sqrt{x-1}-1)^2\geq 0, \forall x\geq 1\)
Vậy GTNN của biểu thức là $0$
Dấu "=" xảy ra khi \((\sqrt{x-1}-1)^2=0\Leftrightarrow x=2\)
Câu 1:
\(a-\sqrt{a}+1=a-\sqrt{a}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{4}=\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\)
Vì: \(\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) với mọi \(a\ge0\)
=> \(\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{3}{4}\ge\dfrac{3}{4}\)
Vậy GTNN của biểu thức trên là \(\dfrac{3}{4}\) khi \(x=\dfrac{1}{4}\)
Câu 2:
Ta có : \(\sqrt{1+2a-a^2}=\sqrt{-\left(a^2-2a+1\right)+2}=\sqrt{-\left(a-1\right)^2+2}\)
Vì \(-\left(a-1\right)^2+2\le2\Rightarrow\sqrt{-\left(a-1\right)^2+2}\le\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 1
Vậy biểu thức đạt giá trị lớn nhất bằng \(\sqrt{2}\) tại a = 1