Question

Câu 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và AD.

a) Giả sử hai tam giác ABC, ABD vuông tại B và tam giác BCD vuông tại C. Chứng minh rằng tam giác ACD vuông.

b) Biết AB = CD = 2a, EF = a\(\sqrt{3}\). Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

Answer 1

a. Do \(\left\{{}\begin{matrix}AB\perp BC\\AB\perp BD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow AB\perp\left(BCD\right)\Rightarrow AB\perp CD\) (1)

Mặt khác BCD vuông tại C \(\Rightarrow CD\perp BC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow CD\perp\left(ABC\right)\Rightarrow CD\perp AC\Rightarrow\Delta ACD\) vuông tại C

b. Gọi M là trung điểm BD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}EM=\frac{1}{2}CD=a\\FM=\frac{1}{2}AB=a\end{matrix}\right.\) theo t/c đường trung bình

Mặt khác \(\left\{{}\begin{matrix}AB//FM\\CD//EM\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(AB;CD\right)=\left(FM;EM\right)=\widehat{FEM}\)

Áp dụng định lý hàm cos cho tam giác \(FME\)

\(cos\widehat{FEM}=\frac{MF^2+EF^2-ME^2}{2ME.EF}=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow\widehat{FEM}=30^0\)