Lời giải:
a.
Áp dụng định lý Pitago: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$ (cm)
$\sin B = \frac{AC}{BC}=\frac{12}{13}\Rightarrow \widehat{B}=67^0$
$\widehat{C}=90^0-\widehat{B}=90^0-67^0=23^0$
b.
Áp dụng hệ thức lượng trọng tam giác vuông đối với tam giác $ABH, ACH$ ta có:
$AD.AB=AH^2(1)$
$AE.AC=AH^2(2)$
$\Rightarrow AD.AB=AE.AC$
$\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
c.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: $BH.HC=AH^2(3)$
Xét tam giác $AHK$ có $HE$ đồng thời là đường cao và đường trung tuyến nên $AHK$ là tam giác cân tại $H$
$\Rightarrow HK=AH\Rightarrow AH^2=HK^2(4)$
$\Rightarrow BH.HC=HK^2$ (đpcm)
d.
Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông:
$CH^2=CE.AC$
$BH^2=BD.BA$
$\Rightarrow BH^2.CH^2=CE.BD.AB.AC=CE.BD.AH.BC$
$\Rightarrow (BH.CH)^2=CE.BD.AH.BC$
$\Rightarrow (AH^2)^2=CE.BD.AH.BC$
$\Rightarrow AH^3=CE.BD.BC$ (đpcm)
