Question

C​ho năm số a;b;c;d;e khác 0 thỏa mãn điều kiện b²=ac; c^​2=bd; d²=ce. Chứng minh rằng: ​_​(a⁴+b⁴+c⁴+d⁴)/(b⁴+c⁴+d⁴+e^​4) =a/e

Answer 1

b² = ac

=> \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

c² = bd

=> \(\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

d² = ce

=> \(\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\)

=> \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\)

=> \(\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{abcd}{bcde}=\frac{a}{e}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\)

(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

=> \(\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}=\frac{a}{e}\)

=> Đpcm

Answer 2

Ta có :

\(b^2=ac\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\)

\(c^2=bd\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{c}{d}\)

\(d^2=ce\Rightarrow\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{d}=\frac{d}{e}\)

\(\Rightarrow\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{d}.\frac{d}{e}=\frac{a}{e}\)

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có :

\(\frac{a}{e}=\frac{a^4}{b^4}=\frac{b^4}{c^4}=\frac{c^4}{d^4}=\frac{d^4}{e^4}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\)

Vậy \(\frac{a}{e}=\frac{a^4+b^4+c^4+d^4}{b^4+c^4+d^4+e^4}\)