Question

biết x,y thỏa mãn điều kiện x+y=1 tìm GTNN của biểu thức c=x^2+y^2+xy

Answer 1

Thay y= 1-x ta được

\(c=x^2+y^2+xy=x^2+\left(1-x\right)^2+x\left(1-x\right)=x^2-x+1\)

\(=\left(x^2-x+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra  \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-\frac{1}{2}=0\\y=1-x\end{cases}}\)  \(\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

Đặt \(x=1-y\)

\(C=x^2+y^2+xy=\left(1-y\right)^2+y^2+y\left(1-y\right)\)

\(\Leftrightarrow C=1-2y+y^2+y^2+y-y^2=y^2-y+1\)

\(\Leftrightarrow\left(y^2-2.\frac{1}{2}y+\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{4}\Leftrightarrow\left(y-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)

Vậy min C là 3/4 khi y=1/2 và x =1- 1/2= 1/2 hay x=y= 1/2