cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn \(\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}=2\) .Chứng minh:
\(\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{2}\ge\dfrac{1}{\sqrt{a}}+\dfrac{1}{\sqrt{b}}+\dfrac{1}{\sqrt{c}}\)
Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
b) \(\dfrac{2ab}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{ab}+\dfrac{a+b}{2}\)
c) \(\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+ab}\)
1) cho các số thực dương a,b thỏa mãn \(3a+b\le1\). Tìm Min của \(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\)
2) Với hai số thực a,b không âm thỏa mãn \(a^2+b^2=4\). Tìm Max \(M=\dfrac{ab}{a+b+2}\)
3) Cho x,y khác 0 thỏa mãn \(\left(x+y\right)xy=x^2+y^2-xy\). Tìm Max \(A=\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}\)
cho a,b,c dương thỏa mãn \(a+b+c=5\) và \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=3\). CMR: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+2}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+2}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+2}=\dfrac{4}{\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)}}\)
Cho các số dương a,b,c thỏa mãn \(\left\{{}\begin{matrix}a+b+c=2\\a^2+b^2+c^2=2\end{matrix}\right.\)
Chứng minh rằng: \(a\sqrt{\dfrac{\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+a^2}}+b\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+c^2\right)}{1+b^2}}+c\sqrt{\dfrac{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)}{1+c^2}}=2\)
1.a,b,c là các số thực dương. CM \(\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{b+c}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}\right)\le2\)
2. x,y là các số nguyên sao cho \(x^2-2xy-y^2\) ;\(xy-2y^2-x\) đều chia hết cho 5Chứng minh \(2x^2+y^2+2x+y\) cũng chia hết cho 5
3. cho \(a_1a_2...a_{50}\) là các số nguyên thoả mãn \(1\le a_1\le a_2...\le a_{50}\le50;a_1+a_2+...+a_{50}=100\) chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn đc một vài số có tổng là 50
Cho 3 số a, b, c không âm thỏa mãn điều kiện a+b+c=2, chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{1+a}+\dfrac{\sqrt{b}}{1+a+b}+\dfrac{\sqrt{c}}{1+a+b+c}\le2\)
a,Cho a +b =2 C/m \(B=a^5+b^5\ge2\)
b,Cho các số dường a,b,x,y t/m ĐK \(x^2+y^2=1\) và \(\dfrac{x^4}{a}+\dfrac{y^4}{b}=\dfrac{1}{a+b}\).C/m \(\dfrac{x}{\sqrt{a}}+\dfrac{\sqrt{b}}{y}\ge2\)
c,Với x,y là các số dương t/m: \(\left(xy+\sqrt{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)}\right)^2=2010\) .Tính \(A=x\sqrt{1+y^2}+y\sqrt{1+x^2}\)
d,Chứng minh A=\(A=\sqrt{1+2008^2+\dfrac{2008^2}{2009^2}}+\dfrac{2008}{2009}\) có giá trị là 1 số tự nhiên
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+1}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+1}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
