Question

biết 2x + 3y = 1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 8x^3 + 27y^3 + 4x^2 + 9y^2 + 5

 

 

 

 

 

Answer 1

\(M=8x^3+27y^3+4x^2+9y^2+5\)

\(=\left(2x+3y\right)\left(4x^2-6xy+9y^2\right)+4x^2+9y^2+5\)

\(=\left(2x+3y\right)\left(4x^2-6xy+9y^2\right)+4x^2+9y^2+5\)

\(=4x^2-6xy+9y^2+4x^2+9y^2+5\)

Áp dụng BĐT AM-GM có:

\(1\ge2.\sqrt{6xy}\)

\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{24}\)

Dấu " = " xảy ra <=>  2x=3y <=> x=0,25 y=1/6

Áp dụng BĐT Cauchy-schwarz ta có:

\(M\ge\frac{2.\left(2x+3y\right)^2}{2}-6xy+5\ge\frac{2}{2}-\frac{6.1}{24}+5=6.25\)

Dấu " = " xảy ra <=>  2x=3y <=> x=0,25 y=1/6

KL:.....................................................................