Bài 2 : Cho △ABC cân ( AB = AC; góc A tù). Trên cạnh BC lấy D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho: CI = CA.
1.Chứng minh :
a) △ABD = △ICE
b)AB + AC < AD + AE
2. Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB ; AI theo thứ tự M ; N. Chứng minh: BM = CN.
3. Chứng minh rằng chu vi △ABC < chu vi △AMN.
\(\Delta ABC\) cân tại A=>\(\) +) AB=AC mà AC=CI => AB=IC
+) \(\widehat{ABC}\) =\(\widehat{ACB}\) mà \(\widehat{ACB}\) =\(\widehat{ICE}\) ( đối đỉnh ) => \(\widehat{ABC}\) =\(\widehat{ICE}\)
a) xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta ICE\)
AB=IC (cmt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{ICE}\left(cmt\right)\)
BD=CE (gt)
=>\(\Delta ABD=\Delta ICE\left(c.g.c\right)\)
b)\(\Delta AEI\) có AE+EI>AI ( BẤT ĐẲNG THỨC TRONG TAM GIÁC)
mà EI= AD (\(\Delta ABD=\Delta ICE\)) và AI= AC+CI
=> AE+AD>AC+CI mà CI=AB (cmt)
=> AE+AD>AC+AB
2. Xét \(\Delta DMB\) và \(\Delta ENC\)
\(\widehat{BDM}\) = \(\widehat{CEN}\) (=90o)
BD=CE (gt)
\(\widehat{MBD}\) =\(\widehat{NCE}\) (cmt)
=> \(\Delta DMB\) = \(\Delta ENC\) ( g.c.g)
=> BM=CN ( 2 cạnh tương ứng )
3. gọi MN \(\cap\) BC= \(\left\{O\right\}\)
\(\Delta MDO\) vuông tại D \(\Rightarrow MO>DO\)
\(\Delta ECO\) vuông tại E \(\Rightarrow NO>OE\)
=> OD+OE<MO+NO => OD+CE+OC< MO+NO mà CE=BD (gt)
=> OD+BD+OC<OM+ON hay BC< MN
Ta có AB=IC ( cmt)
BM=CN ( cmt)
=> AB-BM=IC-CN=> AM=IN=> AM+AC+CN=IN+AC+CN hay AM+AN=AC+IC
=> AM+AN=AB+AC mà MN> BC
=> AM+AN+MN > AB+AC+BC hay chu vi \(\Delta AMN\) > chu vi \(\Delta ABC\)
