Bài 16: Cho parabol P): y = 1/2x² và đường thẳng (d) : y = mx + 2 (m là tham số) a) Chứng minh với mọi giá trị của m, (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt. (P) b) Gọi x₁,x₂ lượt là hoành độ các giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị của m thỏa mãn : 1)x₁/x₂ + x₂/x₁ =-3 2) |x₁| + |x₂| =4 3) x₁=9x₂ 4) 2x₁-5x₂=-2 c) y₁, y₂ lần lượt là tung độ các giao điểm của (P) và (d). Tìm giá trị của m để: y₁ + y₂
Lời giải:
a.
PT hoành độ giao điểm:
$\frac{1}{2}x^2-mx-2=0$
$\Leftrightarrow x^2-2mx-4=0(*)$
Ta thấy: $\Delta'=m^2+4>0$ với mọi $m$ nên 2 đths luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là nghiệm của pt $(*)$
b.
$x_1,x_2$ là nghiệm của PT $(*)$
Theo định lý Viet:
$x_1+x_2=2m$
$x_1x_2=-4$
Khi đó:
$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=-3$
$\Leftrightarrow \frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=-3$
$\Leftrightarrow \frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=-3$
$\Leftrightarrow \frac{4m^2+8}{-4}=-3$
$\Leftrightarrow 4m^2+8=12$
$\Leftrightarrow 4m^2=4$
$\Leftrightarrow m^2=1\Leftrightarrow m=\pm 1$ (tm)
2.
Do $x_1x_2=-4$ nên $x_1,x_2$ trái dấu. Giả sử $x_1> 0> x_2$. Khi đó:
$|x_1|+|x_2|=4$
$\Leftrightarrow x_1-x_2=4$
$\Leftrightarrow |x_1-x_2|=4$ (do $x_1>x_2$)
$\Leftrightarrow \sqrt{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}=4$
$\Leftrightarrow \sqrt{4m^2+16}=4$
$\Leftrightarrow 4m^2+16=16$
$\Leftrightarrow m^2=0\Leftrightarrow m=0$.
3.
$x_1=9x_2$
$\Leftrightarrow x_1x_2=9x_2^2\geq 0$
$\Leftrightarrow -4\geq 0$ (vô lý)
Do đó không tìm được $m$ thỏa mãn.
4.
$2x_1-5x_2=-2$
$\Leftrightarrow 2x_1^2-5x_1x_2=-2x_1$
$\Leftrightarrow 2x_1^2+20=-2x_1$
$\Leftrightarrow x_1^2+x_1+10=0$
$\Leftrightarrow (x_1+0,5)^2=-9,75<0$ (vô lý)
Phần cuối đề thiếu.