Question

Bài 13:

a) Tính tổng S=1.2^2+2.3^2+. . .+99.100^2

b) Tìm số dư khi chia A= 1+2+2^2+. . .+2^50 cho 3; 7; 15.

Answer 1

a/

S=1.2.(3-1)+2.3.(4-1)+3.4.(5-1)+...+99.100.(101-1)=

=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+99.100.101-(1.2+2.3+3.4+...+99.100)

Đặt

A=1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+99.100.101

4A=1.2.3.4+2.3.4.4+3.4.5.4+...+99.100.101.4=

=1.2.3.4+2.3.4.(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+99.100.101.(102-98)=

=1.2.3.4-1.2.3.4+2.3.4.5-2.3.4.5+3.4.5.6-...-98.99.100.101+99.100.101.102=

=99.100.101.102

=> A=99.100.101.102:4=99.25.100.102

Đặt 

B=1.2+2.3+3.4+...+99.100

3B=1.2.3+2.3.3+3.4.3+...+99.100.3=

=1.2.3+2.3.(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)=

=1.2.3-1.2.3+2.3.4-2.3.4+3.4.5-...-98.99.100+99.100.101=

=99.100.101

=> B=99.100.101:3=33.100.101

=> S=A-B

Bạn tự tính nốt nhé

b/

Tổng trên có 51 số hạng

A=1+(2+2²)+(2³+2⁴)+...+(2⁴⁹+2⁵⁰)=

=1+2(1+2)+2³(1+2)+...+2⁴⁹(1+2)=

=1+3(2+2³+2⁵+...+2⁴⁹) => A:3 dư 1

Ta có

A=(1+2+2²)+(2³+2⁴+2⁵)+(2⁶+2⁷+2⁸)+...+(2⁴⁸+2⁴⁹+2⁵⁰)=

=7+2³(1+2+2²)+2⁶(1+2+2²)+...+2⁴⁸(1+2+2²)=

=7(1+2³+2⁶+...+2⁴⁸) chia hết cho 7

Ta có

A=1+2+2²+(2³+2⁴+2⁵+2⁶)+...+(2⁴⁷+2⁴⁸+2⁴⁹+2⁵⁰)=

=7+2³(1+2+2²+2³)+...+2⁴⁷(1+2+2²+2³)=

=7+15(2³+...+2⁴⁷)

=> A chia 15 dư 7