Bài 12: Cho nửa đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB. Kẻ tiếp tuyến Ax, By cùng phía với nửa đg tròn đối với AB. Từ điểm M trên nửa đg tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba với đg tròn, nó cắt Ax và By lần lượt tại C và D
a) CM: Tam giác COD là tam giác vuông
b) CM: AC.BD=R2
c) CM rằng: AB là tiếp tuyến đg tròn đg kính CD
d) Cho biết OC=BA=2R, tính AC và BD theo R
e) AM cắt CO tại E, OD cắt MB tại F. CM MEOF là hình chữ nhật
a) Tiếp tuyến tại A cắt tiếp tuyến M tại C => AC = CM
Tiếp tuyến tại B cắt tiếp tuyến M tại D => DM = DB
Xét tam giác ACO và tam giác MCO có:
\(\left\{{}\begin{matrix}CO:chung\\CA=CM\\AO=OM\left(=R\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ACO=\Delta MCO\left(c.c.c\right)\\ \Rightarrow\widehat{AOC}=\widehat{MOC}\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\widehat{MOD}=\widehat{DOB}\\ \widehat{COA}+\widehat{COM}+\widehat{MOD}+\widehat{DOB}=180^o\\ \Rightarrow2\widehat{COM}+2\widehat{MOD}=180^o\\ \Rightarrow\widehat{COM}+\widehat{MOD}=\widehat{COD}=90^o\)
\(\Rightarrow\Delta OCD\) vuông tại O
b) Xét tam giác OCD vuông tại O, \(OM\perp CD\) tại M.
\(\Rightarrow CM^2=R^2=MC.MD\\ Mà:MC=AC;MD=DB\left(cmt\right)\\ R^2=AC.BD\)
c) Xét tam giác OCD vuông tại O
\(\Rightarrow O\in\) đường tròn đường kính CD
Gọi là trung điểm CD
\(\Rightarrow I\) là tâm đường tròn đường kính CD
Mà O là trung điểm AB
=> OI là đường trung bình của ACDB
=> OI//AC mà \(AC\perp AB\) tại A
=> \(OI\perp AB\) tại O mà \(O\in\left(I\right)\)
=> AB là tiếp tuyến của \(\left(I;\frac{CD}{2}\right)\) tại O
d) \(AC=\sqrt{OC^2-OA^2}=\sqrt{4R^2-R^2}=R\sqrt{3}\)
\(\frac{1}{OM^2}=\frac{1}{OC^2}+\frac{1}{OD^2}\Rightarrow\frac{1}{R^2}=\frac{1}{4R^2}+\frac{1}{OD^2}\Rightarrow OD=\frac{2\sqrt{3}}{3}R\\ BD=\sqrt{OD^2-OB^2}=\sqrt{\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}R\right)^2-R^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}R\)
e) Xét tam giác OAM cân tại O (OA = OM = R) có:
\(\widehat{AOE}=\widehat{EOM}\left(cmt\right)\\ \Rightarrow OE\perp AMtạiE\\ \Rightarrow\widehat{MEO}=90^o\)
CMTT: \(\widehat{MFO}=90^o\)
\(Lạicó:\widehat{EOF}=60^o\left(cmt\right)\)
=> EMFO là hình chữ nhật