Bài 1. Tìm x, y thỏa mãn: x2 - y2 - 2x - 4y + 5 = 0
Bài 2. Cho a, b, c thỏa mãn a( a - b ) + b( b - c ) + c( c - a ) = 0
Tìm GTNN của P = a3 + b3 + c3 - 3abc + 3ab - 3c + 5
Bài 3. Tìm x, y, z thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
Bài 4. Cho x2 + x - 3 = 0. Tính P = \(x^2+\frac{9}{x^2}\)
Bài 5. Cho x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x + y + z = -3
Tính A = x2017 + y2018 + z2019
Bài 6. Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = 1
Tính P = ( x - 1 )18 + ( y - 1 )9 + ( z - 1 )1997
Bài 7. Cho a, b thỏa mãn 4a2 + 2b2 + 4ab - 4a - 6b + 1 = 0
Tìm GTNN của P = 2a + b
Bài 8. Tìm GTNN của:
a) P = x2 + 3y2 - 2xy + 2x - 4y + 5
b) Q = x4 - x2 + 2x + 1999
Bài 9. Tìm GTLN của x thỏa mãn: x2 + 4y2 - 4y = 15
Bài 1:
\(x^2+y^2-2x-4y+5=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=0\)
Vì $(x-1)^2; (y-2)^2\geq 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-1)^2=(y-2)^2=0$
$\Rightarrow x=1; y=2$
Vậy...........
Bài 2:
Ta có:
\(a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow 2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=0\)
\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)
Lập luận tương tự bài 1, ta suy ra :
\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)
Khi đó, thay $b=c=a$ ta có:
\(P=a^3+b^3+c^3-3abc+3ab-3c+5\)
\(=3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3a^2-3a+5\)
\(=3(a^2-a+\frac{1}{4})+\frac{17}{4}=3(a-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}\geq \frac{17}{4}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{17}{4}$
Giá trị này đạt được tại $b=c=a=\frac{1}{2}$
Bài 3:
Ta có:
\(x^2+4y^2+z^2=2x+12y-4z-14\)
\(\Leftrightarrow x^2+4y^2+z^2-2x-12y+4z+14=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(4y^2-12y+9)+(z^2+4z+4)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(2y-3)^2+(z+2)^2=0\)
Lập luận tương tự bài 1 ta suy ra:
\((x-1)^2=(2y-3)^2=(z+2)^2=0\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=\frac{3}{2}\\ z=-2\end{matrix}\right.\)
Vậy........
Bài 4:
Từ $x^2+x-3=0\Rightarrow x^2-3=-x$. Khi đó:
\(P=x^2+\frac{9}{x^2}=x^2+(\frac{3}{x})^2-2x.\frac{3}{x}+2.x.\frac{3}{x}\)
\(=(x-\frac{3}{x})^2+6=\left(\frac{x^2-3}{x}\right)^2+6=\left(\frac{-x}{x}\right)^2+6=(-1)^2+6=7\)
Vậy $P=7$
Bài 5:
Từ \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)
\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)=0\)
\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)
\(\Rightarrow (x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\)
\(\Rightarrow x=y=z\)
Kết hợp với $x+y+z=-3$ suy ra $x=y=z=-1$. Do đó:
\(A=x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}=(-1)^{2017}+(-1)^{2018}+(-1)^{2019}\)
\(=(-1)+1+(-1)=-1\)
Vậy.........
Bài 6:
Từ đkđb suy ra \(x^3+y^3+z^3-x^2-y^2-z^2=0\)
\(\Leftrightarrow x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0(*)\)
Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2\leq 1$
$\Rightarrow x,y,z\leq 1$
$\Rightarrow x^2(x-1)\leq 0; y^2(y-1)\leq 0; z^2(z-1)\leq 0$
Kết hợp với $(*)$ suy ra $x^2(x-1)=y^2(y-1)=z^2(z-1)=0$
$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=1$; $y=0$ hoặc $y=1$; $z=0$ hoặc $z=1$
Kết hợp với $x+y+z=1$ suy ra $(x,y,z)=(1,0,0)$ và hoán vị
Nếu $x=1; y=z=0$: \(P=-2\)
Nếu $x=y=0; z=1$: $P=0$
Nếu $x=z=0; y=1$: $P=0$
Bài 7:
\(4a^2+2b^2+4ab-4a-6b+1=0\)
\(\Leftrightarrow (4a^2+4ab+b^2)+b^2-4a-6b+1=0\)
\(\Leftrightarrow (2a+b)^2+b^2-2(2a+b)-4b+1=0\)
\(\Leftrightarrow (2a+b)^2-2(2a+b)+1+(b^2-4b)=0\)
\(\Leftrightarrow (2a+b-1)^2=-(b^2-4b)=4-(b^2-4b+4)=4-(b-2)^2\)
\(\Leftrightarrow (P-1)^2=4-(b-2)^2\leq 4\)
\(\Rightarrow -2\leq P-1\)
\(\Rightarrow P\geq -1\)
Vậy GTNN của $P$ là $-1$. Giá trị này đạt tại $b=2; a=\frac{-3}{2}$
Bài 8:
a)
\(P=x^2+3y^2-2xy+2x-4y+5\)
\(=(x^2+y^2-2xy)+2y^2+2x-4y+5\)
\(=(x-y)^2+2y^2+2(x-y)-2y+5\)
\(=(x-y)^2+2(x-y)+1+(2y^2-2y+\frac{1}{2})+\frac{7}{2}\)
\(=(x-y+1)^2+2(y-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{2}\geq \frac{7}{2}\)
Vậy $P_{\min}=\frac{7}{2}$ khi \(\left\{\begin{matrix} x-y+1=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
b)
\(Q=x^4-x^2+2x+1999=(x^4-2x^2+1)+(x^2+2x+1)+1997\)
\(=(x^2-1)^2+(x+1)^2+1997\geq 1997\)
Vậy $Q_{\min}=1997$ khi \((x^2-1)^2=(x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)
Bài 9:
Ta có:
\(x^2+4y^2-4y=15\)
\(\Leftrightarrow x^2=15-(4y^2-4y)=16-(4y^2-4y+1)\)
\(\Leftrightarrow x^2=16-(2y-1)^2\). Vì $(2y-1)^2\geq 0, \forall y\in\mathbb{R}$
\(\Rightarrow x^2\leq 16\Rightarrow x\leq 4\)
Vây GTLN của $x$ là $4$. Giá trị này đạt tại $(2y-1)^2=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$