Bài 1 Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB ,bán kính \(OC\perp AB\),M là một điểm bất kì trên cung nhỏ AC (\(M\ne A,C\))BM cắt AC tại H .Gọi K là hìnnh chiếu của H trên AB
a, Chứng minh CBKH là tứ gía nội tiếp
b, Trên đoạn BM lấy E sao cho BE =AM.Chứng minh rằng \(\Delta ECM\) cân tại C
c, Gọi d là tiếp tuyến của (O) tại A ,cho P là điểm nằm trên d sao cho P,C nằm trong cùng nửa mặt phẳng bờ AB và \(\dfrac{AP.MB}{MA}=R\) . Chứng minh BP đi qua trung điểm HK
Bài 2 a, Cho a,b là số dương .Cm \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
b , Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn \(b^2+c^2\le a^2\).Tìm GTNN của biểu thức sau \(P=\dfrac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
Bài 2:a)\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}-\dfrac{4}{a+b}=ab+b^2+a^2+ab-4ab=a^2-2ab+b^2=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=>\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
Dấu = xảy ra khi (a-b)2=0<=>a=b
b)Áp dụng BĐT ở câu a:\(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\ge\dfrac{4}{b^2+c^2}\)
Dấu = xảy ra khi b2=c2
Áp dụng cosi \(\dfrac{b^2+c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\ge2\)
Dấu = xảy ra khi b2+c2=a2
\(a^2\ge b^2+c^2\Rightarrow\dfrac{a^2}{b^2+c^2}\ge1\)
Giờ ta phân tích P:\(P=\dfrac{1}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+a^2\left(\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\ge\dfrac{b^2+c^2}{a^2}+a^2\cdot\dfrac{4}{b^2+c^2}=\dfrac{b^2+c^2}{a^2}+\dfrac{a^2}{b^2+c^2}+\dfrac{3a^2}{b^2+c^2}\ge2+3=2+3=5\)
=>min P=5 đạt được khi \(\left\{{}\begin{matrix}b^2=c^2\\a^2=b^2+c^2\end{matrix}\right.\)<=>a2=2b2=2c2