a) Giải:
Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên)
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên)
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1)
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2)
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên)
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4)
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.(đpcm)
hình như bài toán của bạn ko có số nào thỏa mãn
b)
Vì n là số nguyên tố lớn hơn 3 \(\Rightarrow\) n không chia hết cho 3
\(\Rightarrow\) n = 3k+1 hoặc n = 3k + 2 ( K\(\in\)N*)
+) N = 3k + 1 thì n\(^2\) + 2006 = ( 3k + 1)\(^2\) + 2006 = 9k\(^2\) + 6k + 2007 chai hết cho 3 và lớn hơn 3
\(\Rightarrow\) n\(^2\) +2006 là hợp số
+) n = 3k + 2 thì n\(^2\) + 2006 = ( 3k + 2 )\(^2\) + 2006 = 9k^2 +12k + 2010 chia hết cho 3 và lớn hơn 3
\(\Rightarrow\) n^2 + 2006 là hợp số
Vậy n^2 + 2006 là hợp số