Ta sẽ chứng minh \(1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)(*).
Với \(n=1\)thì: \(\frac{1\left(1+1\right)\left(2.1+1\right)}{6}=1\)do đó (*) đúng với \(n=1\).
GIả sử (*) đúng với \(n=k\ge1\), tức là \(1+2^2+3^2+...+k^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}\).
Ta sẽ chứng minh (*) đúng với \(n=k+1\), tức là \(1+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\).
Thật vậy, ta có:
\(1+2^2+3^2+...+k^2+\left(k+1\right)^2=\frac{k\left(k+1\right)\left(2k+1\right)}{6}+\frac{6\left(k+1\right)^2}{6}\)
\(=\frac{\left(k+1\right)\left(2k^2+k+6k+6\right)}{6}=\frac{\left(k+1\right)\left(k+2\right)\left(2k+3\right)}{6}\)
Suy ra (*) đúng với \(n=k+1\).
Theo nguyên lí quy nạp toán học, (*) đúng với \(n\inℕ\).
Vậy \(1+2^2+3^2+...+n^2=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\).
Ta có A = 1.1 + 2.2 + 3.3 + ... + n.n
= 1.(2 - 1) + 2.(3 - 1) + 3.(4 - 1) + ... + n.(n + 1 - 1)
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n.(n + 1) - (1 + 2 + 3 + ... + n)
= 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n.(n + 1) - n(n + 1) : 2
Đặt B = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n(n + 1)
=> 3B = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + .... + n.(n + 1).3
= 1.2.3 + 2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + .... + n.(n + 1).[(n + 2) - (n - 1)]
= 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + .... + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1)
= n(n + 1)(n + 2)
=> B = \(\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}\)
Khi đó \(A=\frac{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}{3}-\frac{n\left(n+1\right)}{2}=n\left(n+1\right)\left(\frac{n+2}{3}-\frac{1}{2}\right)\)
\(=\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\)