a) Xét tam giác ABI và tam giác AMI:
AI chung.
AB = AM (gt).
\(\widehat{BAI}=\widehat{MAI}\) (AI là phân giác \(\widehat{BAC}\)).
\(\Rightarrow\Delta ABI=\Delta AMI\left(c-g-c\right).\)
\(\Rightarrow\) IB = IM (2 cạnh tương ứng).
b) Xét tam giác BAM: AB = AM (gt).
\(\Rightarrow\Delta BAM\) cân tại A.
Mà AI là phân giác \(\widehat{BAM}\) (AI là phân giác \(\widehat{BAC}\), \(M\in AC\)).
\(\Rightarrow\) AI là đường trung trực của BM (T/c tam giác cân).
c) Ta có: AI là đường trung trực của BM (cmt).
\(\Rightarrow\) IB = IM (T/c đường trung trực).
Ta có: \(\widehat{ABI}+\widehat{IBH}=180^o.\\\widehat{AMI} +\widehat{IMC}=180^o.\)
Mà \(\widehat{ABI}=\widehat{AMI}\left(\Delta ABI=\Delta AMI\right).\)
\(\Rightarrow\widehat{IBH}=\widehat{IMC}.\)
Xét tam giác BIH và tam giác MIC:
IB = IM(cmt).
\(\widehat{BIH}=\widehat{MIC}\) (đối đỉnh).
\(\widehat{IBH}=\widehat{IMC}\left(cmt\right).\)
\(\Rightarrow\Delta BIH=\Delta MIC\left(g-c-g\right).\)
\(\Rightarrow\) IH = IC (2 cạnh tương ứng).
d) Ta có: \(AH=AB+BH.\\ AC=AM+MC.\)Mà \(AB=AM\left(cmt\right).\\ BH=MC\left(\Delta BIH=\Delta MIC\right).\)
\(\Rightarrow\) AH = AC.\(\Rightarrow\Delta AHC\) cân tại A.
Mà AI là phân giác \(\widehat{BAC}\left(gt\right).\)
\(\Rightarrow\) AI là đường trung trực của HC (T/c tam giác cân).
e) Ta có:AI vuông góc BM (AI là đường trung trực của BM).
AI vuông góc HC (AI là đường trung trực của HC).
\(\Rightarrow\) BM // HC.
