Violympic toán 9
Các câu hỏi tương tự
Cho biểu thức: \(P=\dfrac{xy-\sqrt{x^2-1}.\sqrt{y^2-1}}{xy+\sqrt{x^2-1}.\sqrt{y^2-1}}\). Tính giá trị biểu thứuc với \(x=\dfrac{1}{2}\left(a+\dfrac{1}{a}\right);y=\dfrac{1}{2}\left(b+\dfrac{1}{b}\right);a,b\ge1\)
1.a,b,c là các số thực dương. CM left(dfrac{sqrt{ab}}{sqrt{a+b}}+dfrac{sqrt{bc}}{sqrt{b+c}}right)left(dfrac{1}{sqrt{a+b}}+dfrac{1}{sqrt{b+c}}right)le22. x,y là các số nguyên sao cho x^2-2xy-y^2 ;xy-2y^2-x đều chia hết cho 5Chứng minh 2x^2+y^2+2x+y cũng chia hết cho 53. cho a_1a_2...a_{50} là các số nguyên thoả mãn 1le a_1le a_2...le a_{50}le50;a_1+a_2+...+a_{50}100 chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn đc một vài số có tổng là 50
Đọc tiếp
1.a,b,c là các số thực dương. CM \(\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{b+c}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}\right)\le2\)
2. x,y là các số nguyên sao cho \(x^2-2xy-y^2\) ;\(xy-2y^2-x\) đều chia hết cho 5Chứng minh \(2x^2+y^2+2x+y\) cũng chia hết cho 5
3. cho \(a_1a_2...a_{50}\) là các số nguyên thoả mãn \(1\le a_1\le a_2...\le a_{50}\le50;a_1+a_2+...+a_{50}=100\) chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn đc một vài số có tổng là 50
giúp mk câu b với !
a, CMR với mọi số thực x,y không âm ta có : \(\sqrt{xy}\)\(\le\)\(\dfrac{x+y}{2}\)
b, CMR : \(\dfrac{a+b+c}{\sqrt{a\left(a+3b\right)}+\sqrt{b\left(b+3c\right)}+\sqrt{c\left(c+3a\right)}}\) \(\ge\) \(\dfrac{1}{2}\)
A= \(\dfrac{\sqrt{c+ab}+\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}}{1+\sqrt{ab}}\ge1\)
Cho a,b,c >0
a+b+c=1
Cho \(a,b,c\ge1\). CMR:
\(a\left(b+c\right)+b\left(c+a\right)+c\left(a+b\right)+2\left(\dfrac{1}{a^2+1}+\dfrac{1}{b^2+1}+\dfrac{1}{c^2+1}\right)\ge9\)
Bài 1 : Cho ac , bc ( a,b,c0). Cmr : sqrt{csqrt{a-c}}+sqrt{csqrt{b-c}}lesqrt{ab} (Hướng dẫn : chia cả 2 vế cho sqrt{ab} , dùng cô-si)
Bài 2 : Cho age1;bge1 . Cmr asqrt{b-1}+bsqrt{a-1}le ab
Bài 3 : Tìm GTNN của Aleft(a+1right)^2+left(frac{a^2}{a+1}+2right)^2 với mọi ane1
Đọc tiếp
Bài 1 : Cho a>c , b>c ( a,b,c>0). Cmr : \(\sqrt{c\sqrt{a-c}}+\sqrt{c\sqrt{b-c}}\le\sqrt{ab}\) (Hướng dẫn : chia cả 2 vế cho \(\sqrt{ab}\) , dùng cô-si)
Bài 2 : Cho \(a\ge1;b\ge1\) . Cmr \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
Bài 3 : Tìm GTNN của \(A=\left(a+1\right)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2\) với mọi a\(\ne1\)
H24
23 tháng 6 2021 lúc 16:09
Cho a, b, c>0; abc=1. Cmr:
\(\dfrac{a^3}{b\left(c+2\right)}+\dfrac{b^3}{c\left(a+2\right)}+\dfrac{c^3}{a\left(b+2\right)}\ge1\)
Sao em làm chỉ ra >=3 thôi ạ)):
1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y 8. Tính GTNN của biểu thức Ax^3+y^3+x^2+y^2+5left(x+yright)+frac{1}{x}+frac{1}{y}
2. Cho a,b,c 1. Tính GTNN của biểu thức Bfrac{a^2}{a-1}+frac{2b^2}{b-1}+frac{3c^2}{c-1}
3. Cho 2 số x,yne0 thỏa mãn đẳng thức sau: 2x^2+frac{1}{x^2}+frac{y^2}{4}4. Tính GTLN của biểu thức Cfrac{1}{xy}
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc 1. Cmr: Dfrac{a^4}{b^2left(c+2right)}+frac{b^4}{c^2left(a+2right)}+frac{c^4}{a^2left(b+2right)}ge1
5. Cho a,b,c l...
Đọc tiếp
1. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn x + xy + y = 8. Tính GTNN của biểu thức \(A=x^3+y^3+x^2+y^2+5\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
2. Cho a,b,c > 1. Tính GTNN của biểu thức \(B=\frac{a^2}{a-1}+\frac{2b^2}{b-1}+\frac{3c^2}{c-1}\)
3. Cho 2 số \(x,y\ne0\) thỏa mãn đẳng thức sau: \(2x^2+\frac{1}{x^2}+\frac{y^2}{4}=4\). Tính GTLN của biểu thức \(C=\frac{1}{xy}\)
4. Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1. Cmr: \(D=\frac{a^4}{b^2\left(c+2\right)}+\frac{b^4}{c^2\left(a+2\right)}+\frac{c^4}{a^2\left(b+2\right)}\ge1\)
5. Cho a,b,c là các số dương không lớn hơn 1. Cmr: \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ca\)
6. Cho 2 số thực x,y thỏa mãn điều kiện \(x-3\sqrt{x+1}=3\sqrt{y+2}-y\). Cmr: \(\frac{9+3\sqrt{21}}{2}\le x+y\le9+3\sqrt{15}\).
7. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x + y + z = 1. Cmr: \(\sqrt{x+yz}+\sqrt{y+zx}+\sqrt{z+xy}\ge1+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\).
8. Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}=2015.\) Tìm GTNN của biểu thức: \(P=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\).
9. Cho các số thực dương x,y thỏa mãn \(\left(x+y-1\right)^2=xy\). Tìm GTNN của biểu thức: \(M=\frac{1}{xy}+\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{\sqrt{xy}}{x+y}\).
10. Tìm m để phương trình \(mx^2-\left(5m-2\right)x+6m-5=0\) có 2 nghiệm nghịch đảo nhau.
11. Cho 2 số thực dương x,y thỏa mãn \(x^2+y\ge1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(N=y^2+\left(x^2+2\right)^2\).
12. Cho 9 số thực \(a_1,a_2,...,a_9\) không nhỏ hơn -1 và \(a_1^3+a_2^3+...+a_9^3=0\). Tính GTLN của biểu thức \(Q=a_1+a_2+...+a_9\).
13. cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1. Cmr: \(\sqrt{2015a+1}+\sqrt{2015b+1}+\sqrt{2015c+1}< 78\)
Mn làm giúp mk với. Mk đang cần gấp
1. Cmr các số sau là số hữu tỉ:
a. sqrt{1+sqrt{2}}
b. m+dfrac{sqrt{3}}{n} với m, n là các số hữu tỉ, nne0
2. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ hay không nếu:
a. ab và dfrac{a}{b} là các số hữu tỉ
b. a+b và dfrac{a}{b} là các số hữu tỉ left(a+bne0right)
c. a+b, a^2 và b^2 là các số hữu tỉ left(a+bne0right)
3. So sánh hai số:
a. 2sqrt{3} và 3sqrt{2}
b. 6sqrt{5} và 5sqrt{6}
c. sqrt{24}+sqrt{45} và 12
d. sqrt{37}-sqrt{15} và 2
4.
a. Cho một ví dụ để chứng tỏ rằng khẳng định sqrt...
Đọc tiếp
1. Cmr các số sau là số hữu tỉ:
a. \(\sqrt{1+\sqrt{2}}\)
b. \(m+\dfrac{\sqrt{3}}{n}\) với m, n là các số hữu tỉ, n\(\ne\)0
2. Xét xem các số a và b có thể là số vô tỉ hay không nếu:
a. \(ab\) và \(\dfrac{a}{b}\) là các số hữu tỉ
b. \(a+b\) và \(\dfrac{a}{b}\) là các số hữu tỉ \(\left(a+b\ne0\right)\)
c. \(a+b\), \(a^2\) và \(b^2\) là các số hữu tỉ \(\left(a+b\ne0\right)\)
3. So sánh hai số:
a. \(2\sqrt{3}\) và \(3\sqrt{2}\)
b. \(6\sqrt{5}\) và \(5\sqrt{6}\)
c. \(\sqrt{24}+\sqrt{45}\) và 12
d. \(\sqrt{37}-\sqrt{15}\) và 2
4.
a. Cho một ví dụ để chứng tỏ rằng khẳng định \(\sqrt{a}\le a\forall a>0\) là sai
b. Cho \(a\ge0\). Với giá trị nào của a thì \(\sqrt{a}>a\) ?
5.
a. Hãy chỉ ra một số thực x mà \(x-\dfrac{1}{x}\) là số nguyên \(\left(x\ne\pm1\right)\)
b. Cmr nếu \(x-\dfrac{1}{x}\) là số nguyên và \(\left(x\ne\pm1\right)\) thì x và \(x+\dfrac{1}{x}\) là số vô tỉ. Khi đó \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2n}\) và \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2n+1}\) là số hữu tỉ hay số vô tỉ?
6. CM các số sau là số vô tỉ:
a. \(\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
b. \(2\sqrt{2}+\sqrt{3}\)
7. Có tồn tại các số hữu tỉ dương hay không nếu:
a. \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{2}\)
b. \(\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt{2}}\)
8. Cho 3 số x, y, \(\sqrt{x}+\sqrt{y}\) là các số hữu tỉ. Cmr mỗi số \(\sqrt{x}\), \(\sqrt{y}\) đều là các số hữu tỉ
9. Cho a,b,c,d là các số dương. Cmr tồn tại một số dương trong hai số \(2a+b-2\sqrt{cd}\) và \(2c+d-2\sqrt{ab}\)
10.
a. Rút gọn \(A=\sqrt{1+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{\left(a+1\right)^2}}\) với a>0
b. Tính giá trị của tổng \(B=\sqrt{1+\dfrac{1}{1^2}+\dfrac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{3^2}}+\sqrt{1+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{4^2}}+...+\sqrt{1+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}}\)
11.
a. Nêu một cách tính nhẩm \(997^2\)
b. Tính tổng các chữ số của A, biết rằng \(\sqrt{A}=99..96\) (có 100 chữ số 9)
12. Cho biểu thức \(M=\dfrac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}\)
a. Tìm các số nguyên a để M là số nguyên
b. Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên
13. Cho \(a=\sqrt{2}-1\)
a. Viết \(a^2,a^3\) dưới dạng \(\sqrt{m}-\sqrt{m-1}\) trong đó m là số tự nhiên
b. Cmr với mọi số nguyên dương n, số \(a^n\) được viết dưới dạng trên
14. Cho \(am^3=bn^3=cp^3\) và \(\dfrac{1}{m}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{p}=1\). Cmr:\(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}=\sqrt[3]{am^2+bn^2+cp^2}\)
15. Kể tên và viết những bất đẳng thức được học trong chương trình TOÁN THCS và THPT
16. Kể tên và viết những cách, phương pháp chứng minh bất đẳng thức được học trong chương trình TOÁN THCS và THPT
17. Cm các BĐT sau bằng tất cả phương pháp (hình học,phản chứng,...) có thể cm:
a. \(x^2+2\sqrt{x}+1>0\)
b. \(\sqrt{a+b}+\sqrt{a-b}< 2\sqrt{a}\) với \(a>b>0\)
c. \(a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\) với các số dương a,b,c
d. \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)\)
e. \(\sqrt{a^2+b^2}\cdot\sqrt{b^2+c^2}\ge b\left(c+a\right)\) với các số dương a,b,c
f. \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+d\right)}\ge\sqrt{ac}+\sqrt{bd}\) với các số dương a,b,c,d
g. \(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+a}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\) với các số dương a,b,c
h. \(\dfrac{a^2}{a+b}+\dfrac{b^2}{b+c}+\dfrac{c^2}{c+d}+\dfrac{d^2}{d+a}\ge\dfrac{a+b+c+d}{2}\) với các số dương a,b,c,d
i. \(\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge a\sqrt{b}+b\sqrt{a}\) với a và b không âm
k. \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\) với các số dương a,b,c
l. \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+d}+\dfrac{c}{d+a}+\dfrac{d}{a+b}\ge2\) với các số dương a,b,c,d
m. \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\right)\)
n. \(\dfrac{a+b}{2}-\sqrt{ab}< \dfrac{\left(a-b\right)^2}{8b}\) với a>b>0
o. \(\dfrac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}\) với 3 số không âm a,b,c
p. \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{x}\) với các số dương x,y,z
q. \(\left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n< 3\) với mọi số nguyên dương n
r. Cho hai dãy số sắp thứ tự: \(a\ge b\ge c\) và \(x\le y\le z\). Cm BĐT: \(\left(a+b+c\right)\left(x+y+z\right)\ge39ax+by+cz\)
18. Kí hiệu an là số nguyên gần \(\sqrt{n}\) nhất (n\(\in\) N*). Tính \(\dfrac{1}{a_1}+\dfrac{1}{a_2}+\dfrac{1}{a_3}+...+\dfrac{1}{a_{1980}}\)
19.
a. So sánh \(a=\sqrt{2004}-\sqrt{2003}\) và \(B=\sqrt{2005}-\sqrt{2004}\)
b. Tìm số dương nhỏ nhất trong các số sau: \(a=4\sqrt{5}-9,b=9-4\sqrt{5},c=7-4\sqrt{3},d=18-5\sqrt{13},e=2\sqrt{30}-11\)
c. Cho \(a=\sqrt{37}-\sqrt{35}\) . Tìm số lớn nhất nhỏ hơn a, số nhỏ nhất lớn hơn a trong các số sau: \(\dfrac{2}{13},\dfrac{1}{6},\dfrac{2}{11},\dfrac{1}{5},\dfrac{2}{9}\)
d. Cho \(a=\sqrt{65}-\sqrt{63}\) . Cmr \(\dfrac{1}{8}< a< \dfrac{2}{15}\), rồi tìm xem phần thập phân của a gần nhất với số nào trong các số \(0,12;0,13;0,14;0,15?\)
e. Cho \(A=\dfrac{1}{\sqrt{1\cdot1999}}+\dfrac{1}{\sqrt{2\cdot1998}}+\dfrac{1}{\sqrt{3\cdot1997}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{1999\cdot1}}\). Cmr \(a>1,999\)
f. Cm với mọi số nguyên dương n: \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}+3\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}< 1\) và \(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
g. Cm với mọi số tự nhiên \(n\ge2\) đều có: \(\sqrt{n}< \dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n}}< 2\sqrt{n}\)
h. Cho 25 số tự nhiên a1,a2,...,a25 thỏa mãn điều kiện: \(\dfrac{1}{\sqrt{a_1}}+\dfrac{1}{\sqrt{a_2}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{a_{25}}}=9\). Cmr trong 25 số tự nhiên đó, tồn tại 2 số bằng nhau
i. Cm với mọi số nguyên dương n: \(\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}\le n\sqrt{\dfrac{n+1}{2}}\)
k. Cho \(a=\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{1+2}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{2+3}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{3+4}+...+\dfrac{\sqrt{25}-\sqrt{24}}{24+25}\). Cmr \(a< \dfrac{2}{5}\)
l. Cho \(A=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{5}{6}\cdot...\cdot\dfrac{2n-1}{2n}\left(n\in N,n\ge2\right)\). Cmr \(A< \dfrac{1}{\sqrt{2n+1}}\) và \(A< \dfrac{1}{\sqrt{3n+1}}\)
m. Cmr nếu các đoạn thẳng có độ dài a,b,c lập được thành một tam giác thì các đoạn thẳng có độ dài \(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c}\) cũng lập được thàng một tam giác
n. Cho a,b,c là 3 cạnh của một tam giác. Cm \(\sqrt{2}\left(a+b+c\right)\le\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}< \sqrt{3}\left(a+b+c\right)\)
o. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho \(\sqrt{n}-\sqrt{n-1}< 0,01\)
p. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để có BĐT: \(\left(a^2+b^2+c^2\right)^2\le n\left(a^4+b^4+c^4\right)\)
q. Cho các số dương a,b,c,d. Biết \(\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}+\dfrac{c}{1+c}+\dfrac{d}{1+d}\le1\) . Cmr \(abcd\le\dfrac{1}{81}\)
r. Cho \(x\sqrt{1-y^2}+y\sqrt{1-x^2}=1.Cmr\) \(x^2+y^2=1\)
s. Cho \(a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}},b=2\sqrt[3]{3}\). Cmr \(a< b\)
u. Cm \(\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}< 2}\)(vế trái có 100 dấu căn)
v. Cm \(\dfrac{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2-\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}>\dfrac{1}{4}\) (tử có 100 dấu căn, mẫu có 99 dấu căn)
t. Cmr trong các số có dạng \(\sqrt[n]{n}\) (n là số tự nhiên, \(n\ge2\)), số \(\sqrt[3]{3}\) có giá trị lớn nhất
x. Tìm 20 chữ số thập phân đàu tiên của số: \(\sqrt{0,99...9}\) (20 chữ số 9)
y. Cmr số \(\left(8+3\sqrt{7}\right)^7\) có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy
z. Cmr số \(\left(7+4\sqrt{3}\right)^{10}\) có 10 chữ số 9 liền sau dấu phẩy