Tuyển Cộng tác viên Hoc24 nhiệm kì 26 tại đây: https://forms.gle/dK3zGK3LHFrgvTkJ6
a)Cho 0 < c ; c < b ; b < a . CMR:\(\sqrt{c\left(a-c\right)}+\sqrt{b\left(b-c\right)}\le\sqrt{ab}\)
b)Cho \(x\ge1;y\ge1\). CMR:\(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}\ge\dfrac{2}{1+xy}\)
Cho a,b,c>0 thỏa mãn : \(ab+bc+ca=0\)
C/m: \(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge3+\sqrt{\dfrac{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}{a^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(b+c\right)\left(b+a\right)}{b^2}}+\sqrt{\dfrac{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}{c^2}}\)
Bài 1 : Cho a>c , b>c ( a,b,c>0). Cmr : \(\sqrt{c\sqrt{a-c}}+\sqrt{c\sqrt{b-c}}\le\sqrt{ab}\) (Hướng dẫn : chia cả 2 vế cho \(\sqrt{ab}\) , dùng cô-si)
Bài 2 : Cho \(a\ge1;b\ge1\) . Cmr \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
Bài 3 : Tìm GTNN của \(A=\left(a+1\right)^2+\left(\frac{a^2}{a+1}+2\right)^2\) với mọi a\(\ne1\)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = abc. Tìm Max
\(S=\dfrac{a}{\sqrt{cb\left(1+a^2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ac\left(1+b^2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
1.a,b,c là các số thực dương. CM \(\left(\dfrac{\sqrt{ab}}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{\sqrt{bc}}{\sqrt{b+c}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}\right)\le2\)
2. x,y là các số nguyên sao cho \(x^2-2xy-y^2\) ;\(xy-2y^2-x\) đều chia hết cho 5Chứng minh \(2x^2+y^2+2x+y\) cũng chia hết cho 5
3. cho \(a_1a_2...a_{50}\) là các số nguyên thoả mãn \(1\le a_1\le a_2...\le a_{50}\le50;a_1+a_2+...+a_{50}=100\) chứng minh rằng từ các số đã cho có thể chọn đc một vài số có tổng là 50
Cho a, b>0. Chứng minh rằng:
a) \(\dfrac{3a^2+2ab+3b^2}{a+b}\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
b) \(\dfrac{2ab}{a+b}+\sqrt{\dfrac{a^2+b^2}{2}}\ge\sqrt{ab}+\dfrac{a+b}{2}\)
c) \(\dfrac{1}{\left(1+a\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+b\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+ab}\)
Cho a, b , c dương thỏa mãn a + b + c = abc. Tìm Max
\(S=\dfrac{a}{\sqrt{bc\left(1+a^2\right)}}+\dfrac{b}{\sqrt{ca\left(1+b^2\right)}}+\dfrac{c}{\sqrt{ab\left(1+c^2\right)}}\)
Cho a, b, c > 0 thoả mãn: \(a+b+c=\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=2\). Chứng minh rằng: \(\dfrac{\sqrt{a}}{a+1}+\dfrac{\sqrt{b}}{b+1}+\dfrac{\sqrt{c}}{c+1}=\dfrac{2}{\sqrt{\left(a+1\right)\left(b+1\right)\left(c+1\right)}}\)
Cho a,b,c e R t/m a=b+1=c+2; c>0 C/m \(2\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)< \dfrac{1}{\sqrt{b}}< 2\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right)\)
