\(1=a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)
\(\Rightarrow2P=2a^2+2b^2+2c^2=\frac{2}{a+b+c}+2ab+2bc+2ca\)
\(\Rightarrow3P=3a^2+3b^2+3c^2=\frac{2}{a+b+c}+a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\)
\(=\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{a+b+c}+\left(a+b+c\right)^2\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}}=3\)
\(\Rightarrow P\ge1\)
Đẳng thức xảy ra khi \(\left(a;b;c\right)=\left(0;0;1\right)\) và các hoán vị.
cho a; b ; c là các số thực không âm có a+b+c=1 c/m rằng:
2(a^3+b^3+c^3)+3abc lớn hơn hoạc bằng a^2+b^2+c^2
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. CMR: a2+b2+c2 +3abc lớn hơn hoặc bằng 4.
1Cho x,y >1 . Chứng minh : x2/(y-1) + y2/ (x-1) lớn hơn hoặc bằng 8
2 Cho a,b,c,d >=0 . Chứng minh : (a+b)(a+b+c)(a+b+c+d) / abcd lớn hơn hoặc bằng 64
3 Cho a,b,c >= 0 . Chứng minh : (a+b+c)(ab+bc+ac) lớn hơn hoặc bằng 8(a+b)(b+c)(c+a) / 9
4 Cho a,b,c >=0 và a+b+c =1 . Chứng minh : bc/√(a+bc) + ac/√(b+ac) + ab/√(c+ab) bé hơn hoặc bằng 1/2
a,b,c lớn hơn hoặc bằng 0 a+b+c=3
Min,Max P=a^2+b^2+c^2+abc
Cho a, b, c > 0; a+b+c=3. Chứng minh
[(a+1):(b2+1)]+[(b+1):(c2+1)]+[(c+1):(a2+1)] lớn hơn hoặc bằng 3
cho các số thực a,b,c>0 thỏa mãn a+b+c=3. chứng minh rằng:
N=(3+a2 trên b+c) + (3+b2 trên c+a) + (3+c2 trên a+b) lớn hơn hoặc bằng 6
(a^2+b^2+c^2)/3 lớn hơn hoặc bằng (a/3+b/3+c/3)^3
B1:Cho a>0, a2=bc
a+b+c=abc
Cmr:
a lớn hơn hoặc bằng căn3,b>0,c>0,b2+c2 lớn hơn hoặc bằng 2a2
B2: Cho hệ
a2+b2+c2=2
ab+bc+ca=1
Cmr: a,b,c thuộc {-4/3;4/3}
3*(a^2+b^2+c^2) lớn hơn hoặc bằng (a+b+c)^2