Question

a,b,c là các số thực dương và a+b+c=3. Chứng minh rằng :

\(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+bc+ac\)

Answer 1

Áp dụng Cô-si cho 3 số ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}a^2+\sqrt{a}+\sqrt{a}\ge3a\\b^2+\sqrt{b}+\sqrt{b}\ge3b\\c^2+\sqrt{c}+\sqrt{c}\ge3c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge3\left(a+b+c\right)\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\) (thay \(3=a+b+c\))

\(\Rightarrow2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)\ge\left(a+b+c\right)^2-a^2-b^2-c^2=2\left(ab+ac+bc\right)\)

\(\Rightarrow\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\ge ab+ac+bc\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)