Question

Cho a,b,c là số dương. CMR:

1. \(\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)\ge\left(1+\sqrt[3]{abc}\right)^3\)

2. \(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\le a^3+b^3+c^3\)

3. \(\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{a+b+c}{2}\)

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{abc}{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

Cộng theo vế và thu gọn:

$\frac{a+1}{a+1}+\frac{b+1}{b+1}+\frac{c+1}{c+1}\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Leftrightarrow 3\geq \frac{3(1+\sqrt[3]{abc})}{\sqrt[3]{(a+1)(b+1)(c+1)}}$

$\Rightarrow (a+1)(b+1)(c+1)\geq (1+\sqrt[3]{abc})^3$

Ta có đpcm.

Answer 2

Bài 2:

$a^3+a^3+a^3+a^3+b^3+c^3\geq 6\sqrt[6]{a^{12}b^3c^3}=6a^2\sqrt{bc}$

$b^3+b^3+b^3+b^3+a^3+c^3\geq 6b^2\sqrt{ac}$

$c^3+c^3+c^3+c^3+a^3+b^3\geq 6c^2\sqrt{ab}$

Cộng theo vế và rút gọn thu được:

$a^3+b^3+c^3\geq a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}$ 

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Answer 3

Bài 3:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{(a+b+c)^2}{b+c+c+a+a+b}=\frac{(a+b+c)^2}{2(a+b+c)}=\frac{a+b+c}{2}$

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Answer 4

Cách 2 bài 2:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})^2\leq (a^3+b^3+c^3)(abc+abc+abc)=3abc(a^3+b^3+c^3)$

Mà theo BĐT AM-GM: $3abc\leq a^3+b^3+c^3$. Do đó:

$(a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab})^2\leq (a^3+b^3+c^3)^2$

$\Rightarrow a^2\sqrt{bc}+b^2\sqrt{ac}+c^2\sqrt{ab}\leq a^3+b^3+c^3$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

 

Answer 5

Cách 2 bài 3:

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\geq a$

$\frac{b^2}{a+c}+\frac{a+c}{4}\geq b$

$\frac{c^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\geq c$

Cộng theo vế và thu gọn ta có:

$\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\geq \frac{a+b+c}{2}$

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$