a, Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của PT:
\(3x^2=5x+2m-1\Leftrightarrow3x^2-5x-2m+1=0\)(*)
\(\Delta=25-12\left(-2m+1\right)=25+24m-12=13+24m\)
Để (P) và (d) có điểm chung \(\Leftrightarrow\)PT (*) có nghiệm kép\(\Leftrightarrow\Delta=0\Leftrightarrow24m+13=0\Leftrightarrow m=-\frac{13}{24}\)
Vậy với \(m=-\frac{13}{24}\) thì (P) và (d) có điểm chung
b, Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\frac{5}{3}\left(1\right)\\x_1\cdot x_2=\frac{-2m+1}{3}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Ta có: \(A=x_1^3+x^3_2-5x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)-5x_1x_2\)Thay (1), (2) vào A ta có: \(A=\left(\frac{5}{3}\right)^3-3\cdot\frac{-2m+1}{3}\cdot\frac{5}{3}-5\cdot\frac{-2m+1}{3}\)
\(=\frac{125}{27}+\frac{5\left(2m-1\right)}{3}-\frac{5\left(2m-1\right)}{3}=\frac{125}{27}\)