Question

a) tìm gtln của \(S=xyz\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)

biết x,y,z>0 và x+y+z=1

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

\(S=xyz(x+y)(y+z)(z+x)=(xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\)

Áp dụng BĐT AM-GM có:

\((xz+yz)(xy+xz)(yz+xy)\leq \left(\frac{xz+yz+xy+xz+yz+xy}{3}\right)^3\)

\(=\left(\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right)^3\)

Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:

\((x+y+z)^2\geq 3(xy+yz+xz)\Rightarrow xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\)

Do đó:

\(S\leq \left[\frac{2(xy+yz+xz)}{3}\right]^3\leq \left(\frac{2.\frac{1}{3}}{3}\right)^3=\frac{8}{729}\)

Vậy \(S_{\max}=\frac{8}{729}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)