Câu hỏi của Phạm Bảo lan

Question

a ) Chứng minh bất đẳng thức

$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$

b )   Cho x;y;z thỏa mãn xy+yz+zx=12

Tìm Min cua M $=x^4+y^4+z^4$

c ) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB...

💋Amanda💋 · Accepted Answer

https://i.imgur.com/zDaI8UO.jpgCâu trả lời: https://i.imgur.com/zDaI8UO.jpg

Hoàng Thị Ánh Phương · Answer

Bài 1 :

Xét hiệu :

$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}$

$=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}-\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{9}$

$=\frac{1}{9}\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right]$

$=\frac{1}{9}\left(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right)$

$=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)$

$=\frac{1}{9}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]$

$=\frac{1}{9}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0$

Vậy $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$

Dấu " = " xay ra $\Leftrightarrow a=b=c$Câu trả lời: Bài 1 :

Xét hiệu :

$\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$

$=\frac{a^2+b^2+c^2}{3}-\frac{\left(a+b+c\right)^2}{9}$

$=\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{9}-\frac{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}{9}$

$=\frac{1}{9}\left[3\left(a^2+b^2+c^2\right)-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right]$

$=\frac{1}{9}\left(3a^2+3b^2+3c^2-a^2-b^2-c^2-2ab-2bc-2ac\right)$

$=\frac{1}{9}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\right)$

$=\frac{1}{9}\left[\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\right]$

$=\frac{1}{9}\left[\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\right]\ge0$

Vậy $\frac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^2$

Dấu " = " xay ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Hoàng Thị Ánh Phương · Answer

Ta đã từng chứng minh :

$x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz$

Ta chứng minh như sau : Nhân 2 vế cho 2 tâ được :

$2x^2+2y^2+2z^2\ge2\left(xy+yz+xz\right)$

$\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2-2yz+z^2+z^2-2zx+x^2\ge0$

$\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y-z\right)^2+\left(z-x\right)^2\ge0$ ( luôn đúng )
Áp dụng ta có : $x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz=12$

$\Rightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)^2\ge12^2=144$

$\Rightarrow x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144\left(1\right)$

Mặt khác $x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2$

$\Rightarrow2\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\left(2\right)$

Cộng vế theo vế ta được :

$2\left(x^4+y^4+z^4\right)-2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)+x^4+y^4+z^4+2\left(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\right)\ge144$

$\Leftrightarrow3\left(x^4+y^4+z^4\right)\ge144$

$\Leftrightarrow x^4+y^4+z^4\ge48$

Dấu " = " xảy ra $\Leftrightarrow x=y=z=2$

Vậy $M_{Min}=48\Leftrightarrow x=y=z=2$

Chúc bạn học tốt !!Câu trả lời: Ta đã từng chứng minh :