Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, AC.\
a) Chứng minh tứ giác BMNC là hình thang
b) Vẽ đường cao AE của tam giác ABC. Gọi F là điểm đối xứng của E qua N. Chứng minh tứ giác AECF là hình chữ nhật.
c) Trên tia EB lấy điểm I sao cho AI=AC. Gọi O là giao điểm của MN và AE. Chứng minh ba điểm I,O,F thẳng hàng.
a) Xét tam giác ABC có:
+ M là trung điểm của AB (gt).
+ N là trung điểm của AC (gt).
\(\Rightarrow\) MN là đường trung bình tam giác ABC (Định nghĩa đường trung bình tam giác).
\(\Rightarrow\) MN // BC (Tính chất đường trung bình tam giác).
Xét tứ giác BMNC có: MN // BC (cmt).
\(\Rightarrow\) Tứ giác BMNC là hình thang (dhnb).
b) Xét tứ giác tứ giác AECF có:
+ N là là trung điểm của AC (gt).
+ N là trung điểm của EF (F là điểm đối xứng của E qua N).
\(\Rightarrow\) Tứ giác AECF là hình bình hành (dhnb).
Mà \(\widehat{AEC}=90^o\) \(\left(AE\perp BC\right).\)
\(\Rightarrow\) Tứ giác AECF là hình chữ nhật (dhnb).
c) Xét tam giác AEC có:
+ N là trung điểm AC (gt).
+ ON // EC (MN // BC).
\(\Rightarrow\) O là trung điểm AE (Định lý đường thẳng đi qua trung điểm 1 cạnh và song song với cạnh thứ 2).
Tứ giác AECF là hình chữ nhật (cmt). \(\Rightarrow\) AC = EF (Tính chất hình chữ nhật).
Mà AI = AC (gt).
\(\Rightarrow\) EF = AI.
Xét tam giác AIC có: AI = AC (gt). \(\Rightarrow\) Tam giác AIC cân tại A.
Mà AE là đường cao \(\left(AE\perp BC\right)\).
\(\Rightarrow\) AE là đường trung tuyến (Tính chất các đường trong tam giác).
\(\Rightarrow\) E là trung điểm IC.
Tứ giác AFEC là hình chữ nhật (cmt). \(\Rightarrow\) AF = EC (Tính chất hình chữ nhật).
Mà IE = EC (E là trung điểm IC).
\(\Rightarrow\) AF = IE.
Xét tứ giác AFEI có:
+ AF = IE (cmt).
+ EF = AI (cmt).
\(\Rightarrow\) Tứ giác AFEI là hình bình hành (dhnb).
\(\Rightarrow\) AE và IF cắt nhau tại trung đi mỗi đường (Tính chất hình chữ nhật).
Mà O là trung điểm AE (cmt).
\(\Rightarrow\) O là trung điểm IF.
\(\Rightarrow\) O; I; F thẳng hàng (đpcm).
