+, x,y đều >0
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}5^x\text{ tận cùng là 5}\\5^y\text{ tận cùng là 5}\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5^x+3\text{ có tận cùng là 8}\\5^x+4\text{ có tận cùng là 9}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\left(5^x+3\right)\left(5^x+4\right)\text{ có tận cùng là 2}\Rightarrow516\text{ có tận cùng là 2 ( vô lí )}\)
\(\text{ Nên trong 2 số x,y tồn tại ít nhất 1 trong 2 số phải bằng 0}\)
\(+,\hept{\begin{cases}x=0\\x=0\end{cases}}\Rightarrow\left(5^x+3\right)\left(5^y+4\right)=516\Rightarrow4.5=20=516\left(\text{vô lí}\right)\)
\(+,x=0\Rightarrow\left(5^x+3\right)\left(5^y+4\right)=516\Rightarrow4\left(5^y+4\right)=516\Rightarrow5^y+4=129\Rightarrow5^y=125=5^3\)
\(\Rightarrow y=3\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=0\\y=3\end{cases}}\left(\text{thỏa mãn}\right)\)
\(+,y=0;\left(5^x+3\right)\left(5^y+4\right)=5\left(5^x+3\right)=516\Rightarrow516⋮5\left(\text{vô lí}\right)\)
Vậy: \(\left(x,y\right)\in\left\{0;3\right\}\)