Theo bài ra , ta có :
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\ge9\left(1\right)\) và \(a+b=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+1}{a}.\frac{b+1}{b}\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(a+1\right)\left(b+1\right)\ge9ab\)
\(\Leftrightarrow ab+a+b+1\ge9ab\)( Vì ab > 0 )
\(\Leftrightarrow a+b+1\ge8ab\)
\(\Leftrightarrow2\ge8ab\)( Vì a + b = 1 )
\(\Leftrightarrow1\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)( Vì a + b = 1 )
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge0\)(2)
BĐT (2) đúng , mà các phép biến đổi trên là tương đương , vậy BĐT (1) đúng với mọi a,b
=) đpcm
Dấu "=" xảy ra (=) a = b
Chúc bạn học tốt =))
Mình giỏi mỗi cộng trừ & giải phương trình:
\(\hept{\begin{cases}a+b=1\\a=b\end{cases}\Rightarrow a=b=\frac{1}{2}}\)
\(VT=\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{2}\right)=\frac{9}{4}\ge9=VP\)