Question

1,Cho x,y là các số thực khác không. Chứng minh rằng :\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)

2,Hai ô tô khởi hành từ 2 địa điểmA,B đi ngược chiều nhau. XE đi từ A có vận tốc 40km/h, xe đi từ B có vận tốc 30km/h. Nếu xe đi từ B khởi hành sớm hơn xe đi từ A là 1 giờ thì hai xe gặp nhau ở địa điểm cách đều A và B. Tính quãng đường AB

Answer 1

Câu 1/

Xét x, y khác dâu ta có:

\(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}>0>\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)(1)

Xét x, y cùng dấu thì ta đặt \(\dfrac{x}{y}=a\left(a>0\right)\) thì ta có:

\(a^2+\dfrac{1}{a^2}\ge a+\dfrac{1}{a}\)

\(\Leftrightarrow a^4-a^3-a+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4-2a^3+a^2\right)+\left(a^3-2a^2+a\right)+\left(a^2-2a+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-a\right)^2+\left(a\sqrt{a}-\sqrt{a}\right)^2+\left(a-1\right)^2\ge0\) đúng (2)

Từ (1) và (2) \(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\ge\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\)

Dấu = xảy ra khi x = y

Answer 2

2. Gọi x(h) là thời gian xe đi từ A đến B. (x>0)

theo đề bài, ta có:

\(40x=30.\left(x+1\right)\\ \Leftrightarrow40x=30x+30\\ \Leftrightarrow10x=30\\ \Leftrightarrow x=3\left(tm\right)\)

vậy quãng đường AB là \(40.3.2=240km\)