Question

1.cho x, y, z là 3 số thực dương thỏa mãn x+y+z=2. tìm giá trị biểu thức

M = \(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\)

2. cho a, b, c >0 và a+b+c = 3

Cm: \(\dfrac{a+1}{b^2+1}+\dfrac{b+1}{c^2+1}+\dfrac{c+1}{a^2+1}\) \(\ge3\)

Answer 1

Bài 1:

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số thực dương ta có:

\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{x^2}{4}}=x\)

\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\geq 2\sqrt{\frac{y^2}{4}}=y\)

\(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\geq 2\sqrt{\frac{z^2}{4}}=z\)

Cộng theo vế:

\(\Rightarrow M+\frac{y+z}{4}+\frac{x+z}{4}+\frac{x+y}{4}\geq x+y+z\)

\(\Leftrightarrow M\geq \frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy GTNN của $M$ là $1$. Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{2}{3}$

Answer 2

Bài 2:

\(\text{VT}=(a+1)-\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+(b+1)-\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+(c+1)-\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\)

\(=(a+b+c+3)-\left(\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\right)\)

\(=6-M(*)\)

Xét \(M=\frac{b^2(a+1)}{b^2+1}+\frac{c^2(b+1)}{c^2+1}+\frac{a^2(c+1)}{a^2+1}\). Áp dụng BĐT AM-GM:

\(M\leq \frac{b^2(a+1)}{2b}+\frac{c^2(b+1)}{2c}+\frac{a^2(c+1)}{2a}=\frac{ab+bc+ac+a+b+c}{2}=\frac{ab+bc+ac+3}{2}\)

\(\leq \frac{\frac{(a+b+c)^2}{3}+3}{2}=3(**)\)

Từ \((*); (**)\Rightarrow \text{VT}=6-M\geq 6-3=3\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Answer 3

Cách khác bài 1:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\right)(y+z+x+z+x+y)\geq (x+y+z)^2\)

\(\Rightarrow M=\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\geq \frac{(x+y+z)^2}{y+z+x+z+x+y}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{2}{2}=1\)

Vậy GTNN của $M$ là $1$. Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=\frac{2}{3}$