1.Cho pt sau: \(x^4-2mx^2+m^2-1=0\).Tìm m để phương trình có 4 \(n_o\) phân biệt.
2.Cho đường thẳng d:y=4x-2 (m≠0) và Parabol (P):\(y=2x^2\)
Viết pt đường thẳng d' có hệ số góc m và đi qua A(1;2).Chứng minh d' luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m≠4 và tìm m để một trong hai giao điểm đó có hoành độ lớn hơn 3.
\(x^4-2mx^2+m^2-1=0\left(1\right)\)
Đặt \(x^2=t\ge0\Rightarrow t^2-2mt+m^2-1=0\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \(\left(2\right)\) có 2 nghiệm dương phân biệt
Áp dụng quy tắc tam thức bậc 2 ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\Delta'>0\\S=\dfrac{-b}{a}>0\\P=\dfrac{c}{a}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-\left(m^2-1\right)>0\\2m>0\\m^2-1>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\\left[{}\begin{matrix}m< -1\\m>1\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>1\)
Vậy với \(m>1\) thì pt đã cho có 4 nghiệm phân biệt
2/ Gọi pt đường thẳng d' có dạng \(y=mx+b\)
Do d' qua \(A\left(1;2\right)\Rightarrow2=m.1+b\Rightarrow b=2-m\)
\(\Rightarrow\) pt d' có dạng \(y=mx+2-m\)
Phương trình hoành độ giao điểm \(d'\) và (P): \(2x^2-mx+m-2=0\) (1)
\(\Delta=m^2-8\left(m-2\right)=m^2-8m+16=\left(m-4\right)^2\)
\(\Rightarrow\Delta>0\) \(\forall m\ne4\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm pb \(\forall m\ne4\) hay d' cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
Gọi nghiệm lớn hơn là \(x_2=\dfrac{m+m-4}{4}=\dfrac{m-2}{2}\)
\(\Rightarrow x_2>3\Rightarrow\dfrac{m-2}{2}>3\Rightarrow m>8\)