1) Xét đường tròn (O) có: AM và AN lần lượt là tiếp tuyến tại M và N
=>AM⊥OM tại M và AN⊥ON tại N
hay AF⊥EM tại M và AE⊥FN tại N
=> \(\widehat{EMF}=\widehat{OMA}=90^0\) và \(\widehat{ENF}=90^0\)
Xét tứ giác ENMF có: \(\widehat{EMF}=\widehat{ENF}=90^0\)
mà 2 đỉnh M và N kề nhau
=> Tứ giác ENMF nội tiếp
=> \(\widehat{EFN}=\widehat{OMN}\) (2 góc nội tiếp cung chắn \(\stackrel\frown{EN}\)) (1)
Xét △OMN có: OM = ON = R
=> △OMN cân tại O
=> \(\widehat{OMN}=\widehat{ONM}\) (2)
Từ (1) và (2) =>\(\widehat{EFN}=\widehat{ONM}\)
mà 2 góc này ở vị trí so le trong
=> MN//EF (điều phải chứng minh)
2) Gọi điểm giao nhau của AO và MN là H
Xét đường tròn (O) có: AM và AN lần lượt là tiếp tuyến tại M và N
=> AM=AN và AO là tia phân giác của \(\widehat{MAN}\)
=> △AMN cân tại A và AO là tia phân giác của △AMN
=> AO là đường trung trực của △AMN
=> AO⊥MN tại H
=> \(\widehat{OHM}=90^0\)
Xét △OMA vuông tại M có đường cao MH ta có:
\(OM^2=OH.OA\)
=> \(OH=\dfrac{OM^2}{OA}=\dfrac{5^2}{7}=\dfrac{25}{7}\left(cm\right)\)
Ta có: \(OH+HA=OA\)
\(\Rightarrow HA=OA-OH=7-\dfrac{25}{7}=\dfrac{24}{7}\left(cm\right)\)
Vậy khoảng cách từ A đến MN là \(\dfrac{24}{7}cm\)