CN

1) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x;y) sao cho \(5^x+12^x=y^2\)

2) Chứng minh số \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\)là số chẵn

RR
17 tháng 5 2018 lúc 13:58

a) Nhận thấy x = 1 không là nghiệm của phương trình nên ta xét \(x\ge2\)

 Do đó , y là số lẻ 

Mà 12x , y2  \(\equiv1\left(mod8\right)\)

Suy ra 5x \(\equiv1\left(mod8\right)\)

=> x chẵn 

Đặt x = 2k (k > 0)

=> 52k = (y - 12k)(y + 12k

Mặt khác , 5 là số nguyên tố nên tồn tại một số m,m < k thõa : y + 12k = 52k - m 

và y - 12k = 5m 

=> 2.12k = 5m(52k - 2m - 1)

Nhận thấy : 2 và 12 là hai số nguyên tố cùng nhau với 5 

=> 52k + 122k = (12k + 1)2

Mà 2.12k  =  5m =>  m = 0 và y = 12k + 1

=> 2.12k = 25k - 1

Tìm từng giá trị của k thấy k = 1 thõa mãn phương trình 

Vậy x = 2 , y = 13

Bình luận (0)
RR
17 tháng 5 2018 lúc 14:01

b) Dùng nhị thức Newton , ta khai triển hai hạng tử được 

\(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}=2^{2016}+2^{2016}+3^{1008}+3^{1008}=2\left(2^{2016}+3^{1008}\right)⋮2\)

Vậy ...... 

Bình luận (0)
H24
17 tháng 5 2018 lúc 14:05

2) \(\left(2+\sqrt{3}\right)^{2016}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{2016}\)

\(=\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}\right]^2+\left[\left(2-\sqrt{3}\right)^{1013}\right]^2\)

\(=\left[\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}+\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}\right]^2-2\left(2+\sqrt{3}\right)^{1013}+\left(2-\sqrt{3}\right)^{1013}\)

=> BT luôn luôn chẵn (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
TM
Xem chi tiết
NL
Xem chi tiết
TD
Xem chi tiết
LL
Xem chi tiết
TQ
Xem chi tiết
PT
Xem chi tiết
H24
Xem chi tiết
PN
Xem chi tiết
PH
Xem chi tiết