1, Tìm các giá trị m để hàm số \(y=m\sqrt{x^2+x+1}-2x\) đồng biến trên khoảng (0;\(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)]
2, Tìm các giá trị tham số m để hàm số \(y=2mx-\sqrt{x^2+2x+11}\) đồng biến trên R
3, Tìm các giá trị tham số m để hàm số y= \(2\left(m^2-1\right)x^3-9mx\) đồng biến trên khoảng (1;+∞)
Help me, tksss !
1.
\(y'=\frac{\left(2x+1\right)m}{2\sqrt{x^2+x+1}}-2\ge0;\forall x\in\left(0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(2x+1\right)m\ge4\sqrt{x^2+x+1}\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{4\sqrt{x^2+x+1}}{2x+1}\)
\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_{\left(0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)}\frac{4\sqrt{x^2+x+1}}{2x+1}\)
Xét \(f\left(x\right)=\frac{4\sqrt{x^2+x+1}}{2x+1}\) trên \(\left(0;\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)\)
\(f'\left(x\right)=-\frac{6}{\left(2x+1\right)^2\sqrt{x^2+x+1}}< 0;\forall x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) nghịch biến \(\Rightarrow f\left(x\right)< f\left(0\right)=4\)
\(\Rightarrow m\ge4\)
2.
\(\Leftrightarrow y'=2m-\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+11}}\ge0;\forall x\in R\)
\(\Leftrightarrow2m\ge\frac{x+1}{\sqrt{x^2+2x+11}}\)
\(\Leftrightarrow m\ge\frac{x+1}{2\sqrt{x^2+2x+11}}\)
\(\Leftrightarrow m\ge\max\limits_Rf\left(x\right)\) với \(f\left(x\right)=\frac{x+1}{2\sqrt{x^2+2x+11}}\)
Ta có: \(f'\left(x\right)=\frac{5}{\sqrt{\left(x^2+2x+11\right)^3}}>0;\forall x\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) đồng biến trên R
\(\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow+\infty}\frac{x+1}{2\sqrt{x^2+2x+11}}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)< \frac{1}{2};\forall x\in R\)
\(\Rightarrow m\ge\frac{1}{2}\)
3.
- Với \(m=1\Rightarrow f\left(x\right)=-9x\) nghịch biến trên R (ko thỏa mãn)
- Với \(m=-1\Rightarrow f\left(x\right)=9x\) đồng biến trên R (thỏa mãn)
- Với \(m\ne\pm1\)
\(f'\left(x\right)=6\left(m^2-1\right)x^2-9m\ge0;\forall x>1\)
TH1: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m\left(m^2-1\right)\le0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -1\)
TH2: \(\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m\left(m^2-1\right)>0\\x_1< x_2\le1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-1>0\\m\left(m^2-1\right)>0\\\sqrt{\frac{3m}{2\left(m^2-1\right)}}\le1\\\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\3m\le2m^2-2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\2m^2-3m-2\ge0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow m\ge2\)
Vậy \(\left[{}\begin{matrix}m\le-1\\m\ge2\end{matrix}\right.\)