Question

1. Chứng minh rằng với mọi số thực không âm x, y ta luôn có: x³ + y³ > x²y + xy²

2. Tìm x sao cho giá trị của biểu thức 111(x-2) không nhỏ hơn 1998

3. Cho 2 số dương a và b , biết a > 2b: Chứng minh: \(\frac{a-b}{b}\) >1

4.Chứng minh bất đẳng thức sau : x² + y² + z² + 14 > 4x - 2y -6z

Answer 1

Bài 1:

Sửa đề: CMR \(x^3+y^3\ge x^2y+xy^2\)

Xét hiệu:

\(x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x^3-x^2y)-(xy^2-y^3)\)

\(=x^2(x-y)-y^2(x-y)\)

\(=(x^2-y^2)(x-y)=(x+y)(x-y)(x-y)=(x+y)(x-y)^2\)

Vì \(x+y\geq 0, (x-y)^2\geq 0\) với mọi $x,y$ không âm

\(\Rightarrow x^3+y^3-(x^2y+xy^2)=(x-y)^2(x+y)\geq 0\)

\(\Leftrightarrow x^3+y^3\geq x^2y+xy^2\)

Ta có đpcm.

Answer 2

Bài 2:
$111(x-2)$ không nhỏ hơn $1998$, nghĩa là:

\(111(x-2)\geq 1998\)

\(\Leftrightarrow x-2\geq \frac{1998}{111}=18\)

\(\Leftrightarrow x\geq 20\)

Vậy với mọi giá trị $x\in\mathbb{R}$, $x\geq 20$ thì ta có điều cần thỏa mãn.

Answer 3

Bài 3:

\(\frac{a-b}{b}=\frac{a-2b+b}{b}=\frac{a-2b}{b}+\frac{b}{b}=\frac{a-2b}{b}+1\)

Vì \(a,b>0; a>2b\Rightarrow a-2b>0; b>0\Rightarrow \frac{a-2b}{b}>0\)

Do đó:

\(\frac{a-b}{b}=\frac{a-2b}{b}+1>1\)

Ta có đpcm.

Answer 4

Bài 4:

Sửa đề: \(x^2+y^2+z^2+14\geq 4x-2y-6z\)

Xét hiệu:

\(x^2+y^2+z^2+14-(4x-2y-6z)\)

\(=(x^2-4x+4)+(y^2+2y+1)+(z^2+6z+9)\)

\(=(x^2-2.2x+2^2)+(y^2+2.1y+1^2)+(z^2-2.3z+3^2)\)

\(=(x-2)^2+(y+1)^2+(z+3)^2\)

Vì \(\left\{\begin{matrix} (x-2)^2\geq 0\\ (y+1)^2\ge 0\\ (z+3)^2\geq 0\end{matrix}\right., \forall x,y,z\in\mathbb{R}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+14-(4x-2y-6z)=(x-2)^2+(y+1)^2+(z+3)^2\ge 0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2+14\geq 4x-2y-6z\)

Ta có đpcm.