1) cho hình thang ABCD có AB // CD và AB=\(\dfrac{1}{3}\)CD . điểm M nằm trên AC sao cho \(\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{MC}\) . Tìm \(x\) sao cho B,M,D thẳng hàng.
2) cho tam giác ABC. A(1;1), B(4;3), C(2;-2) .tìm tọa độ điểm M thuộc trục o\(x\) sao cho :\(|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC|}\) nhỏ nhất.
3) cho A(3;4) , B(-1;1). tìm m thuộc o\(x\) sao cho AM+BM nhỏ nhất.
Câu 1:
Vì \(\overrightarrow{BA}\uparrow\uparrow\overrightarrow{CD}\) và \(BA=\frac{1}{3}CD\Rightarrow \overrightarrow{BA}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CD}\)
Để $B,M,D$ thẳng hàng \(\Leftrightarrow \exists k\in\mathbb{R}|\overrightarrow{BM}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\overrightarrow{CD}+x\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}(\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CD})+(x-\frac{1}{3})\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow \frac{1}{3}\overrightarrow{MD}+(x-\frac{1}{3})\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{MD}\)
\(\Leftrightarrow (x-\frac{1}{3})\overrightarrow{MC}=(k-\frac{1}{3})\overrightarrow{MD}\)
Vì \(\overrightarrow{MC}; \overrightarrow{MD}\) không phải 2 vecto cùng phương nên điều trên chỉ xảy ra khi \(x-\frac{1}{3}=k-\frac{1}{3}=0\Rightarrow x=\frac{1}{3}\)
Bài 2:
Lấy điểm $I(a,b)$ sao cho \(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow (1-a, 1-b)-2(4-a, 3-b)+3(2-a, -2-b)=(0,0)\)
\(\Leftrightarrow (-1-2a,-11-2b)=(0,0)\Rightarrow a=-\frac{1}{2}; b=\frac{-11}{2}\)
Vậy \(I(-\frac{1}{2}; -\frac{11}{2})\)
Ta có:
\(|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}|=|\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}-2(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB})+3(\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC})|\)
\(|2\overrightarrow{MI}+(\overrightarrow{IA}-2\overrightarrow{IB}+3\overrightarrow{IC})|=2|\overrightarrow{MI}|\)
Để \(|\overrightarrow{MA}-2\overrightarrow{MB}+3\overrightarrow{MC}|\) min thì \(|\overrightarrow{MI}|\) min. Điều này xảy ra khi $M$ là hình chiếu của $I$ trên $Ox$
Do đó \(M=(-\frac{1}{2};0)\)
Bài 3:
Lấy điểm $B'$ đối xứng với $B$ qua trục Ox thì \(B'(-1;-1)\)
Ta có: \(MA+MB=MA+MB'\geq AB'=\sqrt{(3--1)^2+(4--1)^2}=\sqrt{41}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(M,A,B'\) thẳng hàng hay $M$ là giao điểm của $AB'$ với trục $Ox$
Dễ viết được PTĐT $AB'$ là \(y=\frac{5}{4}x+\frac{1}{4}\)
Điểm \(M\in (AB')\) có $y_M=0$ nên \(x_M=\frac{-1}{5}\)
Vậy \(M(\frac{-1}{5};0)\)