1 . Cho đường tròn (O; R) và dây AB cố định. Trên tia Bx là tia đối của BA lấy một điểm I. Từ I kẻ tiếp tuyến IM, IN với đường tròn (O). Gọi K là trung điểm AB. H là trực tâm của MNI.
a) Chứng minh 4 điểm O, I, K, M cùng thuộc một đường tròn.
b) Nếu OI = 2R. Tính SOMHN = ?
c) Khi I chạy trên tia Bx. Chứng minh MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
d) Từ B hạ đường vuông góc với MO, cắt MN tại C, cắt AM tại D. Chứng minh C là trung điểm của BD.
2 . Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn : a + b + c = 1
CMR : \(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+c}\le\frac{1}{4}\)
2) Em nhầm đề ca/b+1
Ta có:
VT = \(\frac{ab}{c+a+b+c}+\frac{bc}{a+a+b+c}+\frac{ac}{b+a+b+c}\)
=\(\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}+\frac{bc}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\)
=\(\frac{ab}{4}.\frac{4}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)}+\frac{bc}{4}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}+\frac{ac}{4}.\frac{4}{\left(a+b\right)+\left(b+c\right)}\)
\(\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)+\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)+\frac{ac}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
=\(\frac{1}{4}\left[\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)\right]\)
\(=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra <=> a= b = c =1/3