Question

1. Cho \(a\ge5;ab\ge10\). Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(a^2+b^2\)

2. a) cho a, b là các số tự nhiên. cmr: \(M=a^5+b^5-\left(a+b\right)⋮5\)

b) Tìm x, y thỏa mãn: \(x^2+y^2-4x-2y+5=0\)

c) Giải phương trình: \(x^4-11x^2+4x+21=0\)

3.  Chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\) và \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ac\right)\)với mọi số thực a, b, c

Answer 1

3

Ta có: \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+2a\left(b+c\right)+\left(b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow\text{Đ}PCM\)

Answer 2

2b)

Ta có: \(x^2+y^2-4x-2y+5=0\Leftrightarrow x^2+y^2-4x-2y+4+1=0\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2+\left(y-1\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-2\right)^2=0\\\left(y-1\right)^2=0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\y=1\end{cases}}}\)

c) \(x^4-11x^2+4x-21=0\Leftrightarrow x^4-10x^2+25-x^2+4x-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2-5\right)^2-\left(x-2\right)^2=0\Leftrightarrow\left(x^2-x-5+2\right)\left(x^2+x-5-2\right)=0\)

đến đây tự làm

Answer 3

Bài 2:

b/   \(x^2+y^2-4x+2y+5=0\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-4x+2y+4+1=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-4x+4\right)\left(y^2+2y+1\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x-2\right)^2\left(y+1\right)^2=0\)

\(\orbr{\begin{cases}x-2=0\Rightarrow x=2\\y+1=0\Rightarrow y=1\end{cases}}\)

Answer 4

2a)

a có CSTC là 1 => a⁵ có CSTC là 1

a có CSTC là 2 => a⁵ có CSTC là 2

a có CSTC là 3 => a⁵ có CSTC là 3

a có CSTC là 4 => a⁵ có CSTC là 4

a có CSTC là 5 => a⁵ có CSTC là 5

khi đó a⁵-a có CSTC là 0 sẽ chia hết cho 5 và tương tự b⁵-b cũng vậy

Khi đó ta có: a⁵+b⁵-(a+b) chia hết cho 5 

Answer 5

Bài 3 tớ chỉ bik cm được phần 1 thoyy :3

\(CMR:a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca.\)

Ta có   \(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\)

\(=\frac{1}{2}\cdot2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a^2-2ab+b^2-a^2-2ac+c^2+b^2-2bc+c^2\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\)

Ta lại có  :

\(\left(a-b\right)^2\ge0\)\(,\left(a-c\right)^2\ge0\)\(,\left(b-c\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2}\left[\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\right]\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\ge0\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)(đpcm)