1) Vì a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác nên
\(a< b+c\)
\(\Leftrightarrow a^2< ab+ac\)
Chứng minh tương tự: \(b^2< ab+bc\)
\(c^2< ac+bc\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh ta được đpcm
2) \(x^4-4x+5=x^4-4x^2+4+4x^2-4x+1=\left(x^2-2\right)^2+\left(2x-1\right)^2\ge0\)
Không xảy ra đẳng thức nên ta suy ra đpcm
1: Cho x,y,z>0. CMR: \(\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\)
2: Cho 0<x<\(\dfrac{1}{2}\). CMR: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1+2x}\ge8\\\)
3: Cho x,y>0 và x+y=1. CMR:
a)\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{2}{x^2+y^2}\ge8\)
b)\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge6\\ \)
4: CM các bđt sau: a) \(x^3+4x+1>3x^2\)
b)\(x^4-x+\dfrac{1}{2}>0\)
5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. CMR:
a)\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
b)\(\dfrac{1}{a+b},\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a}\)là 3 cạnh của 1 tam giác(cần CM theo bđt tam giác)
6: Cho a,b,c,d>0 và abcd=1. CMR:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge6\)
1: Cho x,y,z>0. CMR: \(\dfrac{x}{2x+y+z}+\dfrac{y}{x+2y+z}+\dfrac{z}{x+y+2z}\)
2: Cho 0<x<\(\dfrac{1}{2}\). CMR: \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{1+2x}\ge8\\\)
3: Cho x,y>0 và x+y=1. CMR:
a)\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{2}{x^2+y^2}\ge8\)
b)\(\dfrac{1}{xy}+\dfrac{1}{x^2+y^2}\ge6\\ \)
4: CM các bđt sau: a) \(x^3+4x+1>3x^2\)
b)\(x^4-x+\dfrac{1}{2}>0\)
5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh 1 tam giác. CMR:
a)\(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)
b)\(\dfrac{1}{a+b},\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a}\)là 3 cạnh của 1 tam giác(cần CM theo bđt tam giác)
6: Cho a,b,c,d>0 và abcd=1. CMR:
\(a^2+b^2+c^2+d^2+ab+cd\ge6\)
1: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có tổng bằng 1. CMR: \(a^2+b^2+c^2+4abc< \dfrac{1}{2}\)
2: Cho -1<x,y,z<3 và x+y+z=1. CMR: \(x^2+y^2+z^2\le11\)
3: Cho x,y,z là các số \(\ge\)1 . CMR: \(\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+y^2}+\dfrac{1}{1+z^2}\ge\dfrac{3}{1+xyz}\)
4: Cho x>y và xy=1. CMR: \(\dfrac{\left(x^2+y^2\right)^2}{\left(x-y\right)^2}\ge8\)
5: Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác:
a)\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b)\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c)\(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác. CMR :
B1
a. \(ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b. \(abc>\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c. \(2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2-a^4+b^4-c^4>0c\)
d. \(a\left(b-c\right)^2+b\left(c-a\right)^2+c\left(a+b\right)^2>a^3+b^3+c^3\)
B2
a. \(\dfrac{1}{a+b};\dfrac{1}{b+c};\dfrac{1}{c+a}\) cũng là 3 cạnh 1 tam giác khác.
b. \(\dfrac{1}{a+b-c}+\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}>\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\)
1) Cho x,y,z là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác có tổng bằng 1. CMR:
\(x^2+y^2+z^2\le11\)
3) Cho x,y,z là các số \(\ge1\). CMR:
a) \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
b) \(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\)
c) \(a^3+b^3+c^3+2abc< a^2\left(b+c\right)+b^2\left(c+a\right)+c^2\left(a+b\right)\)
1. CMR:
a/ \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)
b/ \(a^4+b^4+c^4+d^4\)\(\ge4abcd\)
2. cho a+b+c=0 . CMR : ab+bc+ca\(\le0\)
chứng minh các BĐT:
a)\(2\left(a^2+b^2\right)\ge\left(a+b\right)^2;\)
b)\(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
BÀi: :
1.CMr \(a^2+b^2-2ab\ge0\)
2.Cmr \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge ab\)
3.Cmr \(a\left(a+2\right)< \left(a+1\right)^2\)
4.Cmr \(m^2+n^2+2\ge2\left(m+n\right)\)
5.Cmr \(\left(a+b\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge4\) với a,b>0
6.Cmr \(\forall x\in R\) đều là nghiệm của bất phương trình \(x^2-x+1>0\)
7.Cmr \(a^4+b^4+c^4+d^4\ge4abcd\)
8. Cm bất đẳng thức \(\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{c^2}+\dfrac{c^2}{a^2}\ge\dfrac{c}{b}+\dfrac{b}{a}+\dfrac{a}{c}\)
9.Cho \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0\) Chứng minh \(xyz\left(\dfrac{1}{x^3}+\dfrac{1}{y^3}+\dfrac{1}{z^3}\right)=3\)
Bài 1: Cho a, b, c thõa mãn 0<a<=b<=c. CMR:
a/b+b/c+c/a>=b/a+c/b+a/c
Bài 2: Cho a, b, c>0 CMR
a/bc+b/ca+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)
Bài 3: CMR với mọi x, y ta có
x^3/x^2+xy+y^2>=(2x-y)/3