Một đường thẳng \(d\) bất kỳ chia hình vuông \(ABCD\) thành hai tứ giác. Gọi tỉ số diện tích của hai tứ giác này là \(\dfrac{S_1}{S_2}\), với \(S_1\) và \(S_2\) là diện tích của hai phần.
Theo đề bài ta có \(\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{1}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{2}{3}\)
\(\Rightarrow\dfrac{S_1}{2}=\dfrac{S_2}{3}=\dfrac{S_1+S_2}{2+3}=\dfrac{S}{5}\left(S=S_1+S_2\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}S_1=\dfrac{2}{5}S\\S_2=\dfrac{3}{5}S\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\) Đường thẳng \(d\) này phải đi qua hình vuông theo cách chia tỷ lệ diện tích thành \(\dfrac{2}{5}\) và \(\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow d\) phải đi qua một điểm cố định \(G\) trong hình vuông được gọi là trọng tâm diện tích. Điểm này nằm cách mỗi cạnh của hình vuông theo tỷ lệ trên
Ta có \(2018\) đường thẳng, mỗi đường thẳng chia diện tích hình vuông theo tỉ lệ \(\dfrac{2}{5}\) và \(\dfrac{3}{5}\)
\(\Rightarrow\) tất cả các đường thẳng này đều phải đi qua điểm cố định \(G\) để đảm bảo tính chất chia diện tích, nên ít nhất một tập con các đường thẳng trong số \(2018\) đường này phải đồng quy tại \(G\)
Nếu giả sử có nhiều hơn \(2018\) đường không đồng quy tại \(G\), mỗi tập đường thẳng phải giao nhau tại các điểm khác nhau ngoài \(G\). Tuy nhiên, số điểm giao cắt độc lập là hữu hạn và nhỏ hơn \(2018\).
\(\Rightarrow\) Ít nhất có \(\left[\dfrac{2018}{4}\right]+1=505\) đường thẳng phải đồng quy tại \(G\)
\(\Rightarrowđpcm\)
